UTBK 2023
Barisan 4, k, 20, … merupakan barisan aritmetika. Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

(1)  Setiap suku barisan positif  

(2) Jumlah setiap dua suku barisan habis dibagi 8.

(3) 100 bukan suku barisan.

(4) Terdapat dua suku barisan dengan selisih 20.

(A)   0
(B)   1
(C)   2
(D)   3
(E)   4

Jawab: (C)

Dari soal diketahui barisan aritmatika: 4, k, 20, … dengan nilai beda yang belum diketahui. Beda barisan aritmatika adalah b = U_n – U_{n – 1}.

Sehingga,

k – 4 = 20 – k

k + k = 20 + 4

2k = 24

Nilai beda dari barisan aritmatika tersebut adalah b = 12 – 4 = 20 – 12 = … = 8. Nilai beda dari barisan aritmatika tersebut lebih dari nol sehingga barisan aritmatika merupakan barisan divergen.

Suku pertama bernilai positif dan nilai beda positif, maka suku berikutnya pasti akan bernilai positif. Sehingga, penyataan (1) Setiap suku barisan positif → BENAR.

Untuk jumlah dua suku barisan aritmatika memenuhi persamaan U_n + U_n+1. Rumus Un barisan aritmatika adalah Un = a + (n – 1)b.

Diketahui bahwa barisan aritmatika memiliki nilai suku pertama a = 8 dan beda b = 8. Dengan begitu, rumus Un barisan aritmatika tersebut adalah Un = 4 + 8(n – 1) = 8n – 4.  

Jumlah dua suku barisan aritmatika untuk n = p dan n = q adalah U_p + U_q = 8p – 4 + 8q – 4 = 8(p + q) – 8. Dari persamaan U_p + U_q = 8(p + q) – 8 dapat dipastikan bahwa setiap jumlah dua suku barisan habis dibagi 8. Sehingga, pernyataan (2) Jumlah setiap dua suku barisan habis dibagi 8 → BENAR.

Rumus Un = 8n – 4 untuk untuk Un = 100 maka ada nilai n yang memenuhi yaitu n = 12. Sehingga, pernyataan (3) 100 bukan suku barisan → SALAH, karena 100 merupakan suku barisan ke-12.

Selisih dua suku barisan aritmatika untuk n = p dan n = q adalah U_p – U_q = 8p – 4 – (8q – 4) = 8(p – q) = 20. Nilai p dan q merupakan bilangan bulat positif, sehingga p – q berupa bilangan bulat.

Sementara hasil dari 8(p – q) = 20 → 8(p – q) = ²⁰/₈ = 2,5 =  bukan merupakan bilangan bulat. Sehingga, pernyataan (4) Terdapat dua suku barisan dengan selisih 20 → SALAH.

Jadi, banyak pernyataan yang bernilai benar adalah (C) 2 yaitu nomor (1) dan (2).