Jarak antara titik P dan bidang BDG adalah ….

Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 12 cm. Titik P terletak di tengah diagonal EG. Jarak antara titik P dan bidang BDG adalah ….
A. 8√3 cm
B. 8√2 cm
C. 6√3 cm
D. 6√2 cm
E. 4√3 cm

Jawab: E

Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik dengan proyeksi titik tersebut pada bidang. Misalkan proyeksi titik P pada bidang BDG adalah titik Q, jarak antara titik P dan bidang BDG adalah panjang ruas garis PQ.

Panjang PO sama dengan panjang rusuk kubus karena menghubungkan titik pada alas dan tutup kubus. Sehingga panjang ruas garis PO = 12 cm.

Rus garis PG sama dengan setengah diagonal bidang kubus. Pada kubus, panjang diagonal bidang akan selalu sama dengan rusuk√2 sehingga panjang ruas garis PG = 6√2 cm.

Panjang ruas garis PQ dapat dihitung dari perbandingan segitiga GPO untuk alas PG dan tinggi PO dengan segitiga GPO untuk alas GO dan tinggi PQ.

Panjang PG dan PO sudah diketahui, namun panjang GO belum diketahui. Sehingga panjang GO perlu dihitung terlebih dahulu sebelum menghitung panjang PQ.

Dari segitiga segitiga siku-siku GPO, panjang ruas garis GO dapat dihitung dengan teromema Pythagoras seperti cara berikut.

1) Menghitung panjang garis GO:
GO² = PG² + PO² = (6√2)² + 12²
GO² = 72 + 144 = 216
GO = √(36×6) = √36 × √6
GO = 6√6 cm

2) Menghitung panjang garis PQ:
¹/₂ × GO × PQ = ¹/₂ × PG × PO
¹/₂ × 6√6 × PQ = ¹/₂ × 6√2 × 12
6√6 × PQ = 6√2 × 12

PQ = 2√12 = 2√(4×3)
PQ = 2 × √4 × √3
PQ = 4√3 cm

Jadi, jarak antara titik P dan bidang BDG adalah PQ = 4√3 cm.