Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ x + 2 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 ‒ 2 dan 2x2 ‒ 2 adalah ….
A. 8x2 + 2x + 1 = 0
B. x2 + 8x + 2 = 0
C. x2 + 2x + 8 = 0
D. x2 ‒ 8x ‒ 2 = 0
E. x2 ‒ 2x + 8 = 0
Pembahasan:
Persamaan kuadrat x2 ‒ x + 2 = 0, memiliki nilai a = 1, b = ‒1, dan c = 2. Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diketahui nilai x1 + x2 dan x1 · x2 seperti berikut.
- x1 + x2 = ‒b/a
x1 + x2 = ‒(‒1)/1 = 1
- x1 · x2 = c/a
x1 · x2 = 2/1 = 2
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah α = 2x1 ‒ 2 dan β = 2x2 ‒ 2, maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru dapat dicari tahu dengan cara berikut.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
α + β = 2x1 ‒ 2 + 2x2 ‒ 2
α + β = 2(x1 + x2) ‒ 4
α + β = 2 × 1 ‒ 4
α + β = 2 ‒ 4
α + β = ‒2
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
α · β = (2x1 ‒ 2)(2x2 ‒ 2)
α · β = 4x1x2 ‒ 4x1 ‒ 4x2 + 4
α · β = 4x1x2 ‒ 4(x1 + x2) + 4
α · β = 4 × 2 ‒ 4 × 1 + 4
α · β = 8 ‒ 4 + 4
α · β = 8
Bentuk umum ersamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam persamaan x2 ‒ (α + β)x + αβ = 0. Substitusi nilai α + β = ‒2 dan α · β = 8 pada persamaan bentuk umum tersebut dapat menghasilkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 ‒ 2 dan 2x2 ‒ 2.
Sehingga persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 ‒ 2 dan 2x2 ‒ 2 dapat ditentukan dengan cara berikut.
Menentukan persamaan kuadrat baru:
x2 ‒ (α + β)x + αβ = 0
x2 ‒ (‒2)x + 8 = 0
x2 + 2x + 8 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 ‒ 2 dan 2x2 ‒ 2 adalah x2 + 2x + 8 = 0.
Jawaban: C