Diketahui α dan β akar-akar persamaan kuadrat 4x2 ‒ 6x ‒ 1 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2α ‒ 1) dan (2β ‒ 1) adalah . . . .
A. x2 ‒ x ‒ 3 = 0
B. x2 ‒ 3x + 1 = 0
C. x2 + 2x ‒ 2 = 0
D. x2 ‒ 3x ‒ 2 = 0
E. x2 + x ‒ 2 = 0
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat: 4x2 ‒ 6x ‒ 1 = 0 maka a = 4; b = ‒6 dan c = ‒1. Jumlah akar-akar (α + β) dan hasil kali kara-akar (αβ) persamaan kuadrat 4x2 ‒ 6x ‒ 1 = 0 dapat diketahui dengan cara berikut.
- α + β = ‒b/a
α + β = ‒(‒6)/4
α + β = 3/2 - αβ = c/a
αβ = ‒1/4 = ‒1/4
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah x1 = 2α ‒ 1 dan x2 = 2β ‒ 1 maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru dapat diketahui dengan cara berikut.
Menentukan jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
x1 + x2 = 2α ‒ 1 + 2β ‒ 1 = 2α + 2β ‒ 2
x1 + x2 = 2(α + β) ‒ 2
x1 + x2 = 2 × 3/2 ‒ 2
x1 + x2 = 3 ‒ 2 = 1
Menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
x1 · x2 = (2α ‒ 1)(2β ‒ 1)
x1 · x2 = 4αβ ‒ 2α ‒ 2β + 1
x1 · x2 = 4αβ ‒ 2(α + β) + 1
x1 · x2 = 4×(‒1/4) ‒ 2 × 3/2 + 1
x1 · x2 = ‒1 ‒ 3 + 1 = ‒3
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum x2 ‒ (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0. Substitusi nilai x1 + x2 dan x1 · x2 dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2α ‒ 1) dan (2β ‒ 1).
Sehingga, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2α ‒ 1 (x1) dan 2β ‒ 1 (x2) dapat ditentukan dengan cara berikut.
x2 ‒ (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0
x2 ‒ (1)x + (‒3) = 0
x2 ‒ x ‒ 3 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2α ‒ 1) dan (2β ‒ 1) adalah x2 ‒ x ‒ 3 = 0.
Jawaban: A