Semua bilangan real x yang memenuhi
Jawab: (D)
Semua bilangan real x yang memenuhi 1/|x-1| < 1/2-x adalah nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Nilai-nilai x dapat diperoleh dengan mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.
Langkah pertama adalah menyederhakan bentuk pertidaksamaan dengan cara memindah fungsi di ruas kanan ke ruas kiri. Akan ada bilangan nol di ruas kanan.
Fungsi f(x) = | x − 1 | dapat memiliki dua bentuk persamaan yaitu f(x) = x − 1 untuk x − 1 > 0 → x > 1 dan f(x) = −(x − 1) = 1 − x untuk x − 1 < 0 → x < 1. Semua bilangan real x yang memenuhi 1/|x-1| < 1/2-x adalah
Untuk x > 1:
Bentuk pertidaksamaan akan menjadi seperti berikut.
Harga nol pembilang:
3 – 2x = 0
2x = 3
x = 3/2
Harga nol penyebut:
(x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Ada tiga nilai x yang mebagi garis bilangan menjadi empat yaitu daerah di kiri 1, antara 1 sampai 3/2, antara 3/2 sampai 2, dan di kanan nilai 2. Selanjutnya perlu dilakukan pengujian titik untuk melihat daerah yang nilainya menghasilkan positif/negatif.
Cara melakukan uji titik, misalkan ambil x = 0 (pilih sembarang), kemudian substitusikan nilai x = 0 pada fungsi 3 – 2x/(x – 1)(x – 2) dan lihat hasilnya.
Substitus x = 0:
Titik x = 0 terletak pada daerah paling kiri dan hasil substitusi berupa bilangan positif. Kesimpulannya, daerah di kiri x = 1 selalui bernilai positif. Ketiga daerah lainnya berturut-turut adalah negatif, positif, dan negatif.
Bentuk pertidaksamaan adalah bentuk kurang dari, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah-daerah negatif.
Perlu diingat bahwa di sini ada untuk x > 1, sehingga syarat ini juga perlu ditambahkan.
Diperoleh semua bilangan real x yang memenuhi 1/|x-1| < 1/2-x untuk x > 1 adalah HP I : {3/2 < x < 2}
Untuk x < 1:
Bentuk pertidaksamaan akan menjadi seperti berikut.
Diperoleh pembilang pecahan 1 (positif) dan penyebut pecahan –(x – 1)(2 – x). Nilai pembilang selalu positif sehingga penyebut harus negatif yaitu –(x – 1)(2 – x) < 0 agar memenuhi pertidaksamaan kurang dari.
Harga nol penyebut adalah –(x – 1)(2 – x) = 0. Nilai x yang memenuhi adalah x = 1 atau x = 2.
Diperoleh dua nilai x yaitu 1 dan 2 yang membagi garis bilangan menjadi tiga daerah yaitu di kiri nilai 1, antara 1 dan 2, serta di kanan nilai 2. Selanjutnya lakukan pengujian titik untuk melihat daerah positif/negatifnya.
Misalkan ambil x = 0 kemudian substitusi ke fungsi 1/–(x – 1)(2 – x):
Dari hasil perhitungan diperoleh nilai 1/2 (positif). Sehingga dapat disimpulkan bahwa daerah yang memuat nilai 0 (kiri x = 1) adalah daerah positif. Dengan demikian, dua daerah berikutnya berikutnya berturut-turut adalah negatif dan positif.
Bentuk pertidaksamaan adalah kurang dari nol, sehingga himpunan penyelesaiannya merupakan daerah-daerah negatif.
Perlu diingat bahwa di sini x < 1, syarat ini juga perlu ditambahkan.
Tidak ada himpunan yang beririsan sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada himpunan penyelesaian yang memenuhi. Artinya semua bilangan real x yang memenuhi 1/|x-1| < 1/2-x untuk x < 1 berupa himpunan kosong.
Semua bilangan real x yang memenuhi 1/|x-1| < 1/2-x adalah gabungan kedua himpunan penyelesaian untuk x > 1 dan x < 1. Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi 1/|x-1| < 1/2-x adalah (D) 3/2 < x < 2.