Soal
Akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 adalah x1 dan x2. Jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut memenuhi persamaan x1 = 2x2 maka nilai p adalah ….
A. ‒1/2 atau 2
B. 1/2 atau ‒2
C. 1/2 atau 2
D. 1 atau ‒2
E. ‒1 atau 2
Kunci Jawaban
Pembahasan
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut dapat diketahui dengan rumus berikut.
ba
ca
Keterangan:
* a = koefisien dari x2
* b = koefisien dari x
* c = konstanta
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru
Pada persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 memiliki nilai a = 1, b = ‒(1 + p), dan c = p. Sehingga nilai untuk jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diketahui dengan cara berikut.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0:
– (1 + p)1
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0:
p1
Diketahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 memenuhi persamaan x1 = 2x2. Substitusi x1 = 2x2 ke persamaan x1 + x2 = p + 1 dan x1 · x2 = p untuk mendapatkan persamaan x2 dalam variabel p.
Persamaan (i):
x1 + x2 = p + 1
2x2 + x2 = p + 1
3x2 = p + 1
x2 = ⅓(p + 1)
Persamaan (ii):
x1· x2 = p
2x2 · x2 = p
2x22 = p
Substitusi persamaan (i) x2 = ⅓(p + 1) ke persamaan (ii) 2x22 = p. Langkah ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam variabel p seperti berikut.
2x22 = p
2(⅓(p + 1))2 = p
2(1/9(p2 + 2p + 1)) = p
2(p2 + 2p + 1) = 9p
2p2 + 4p + 2 = 9p
2p2 + 4p ‒ 9p + 2 = 0
Diperoleh persamaan: 2p2 ‒ 5p + 2 = 0
Menentukan nilai p
Nilai p yang memenuhi persamaan 2p2 ‒ 5p + 2 = 0 dicari dengan melakukan pemfaktoran seperti cara berikut.
2p2 ‒ 5p + 2 = 0
2p2 ‒ p ‒ 4p + 2 = 0
p(2p ‒ 1) ‒ 2(2p ‒ 1) = 0
(p ‒ 2)(2p ‒ 1) = 0
Diperoleh p ‒ 2 = 0 atau 2p ‒ 1 = 0, sehingga:
Untuk p ‒ 2 = 0,
p = 2
Untuk 2p ‒ 1 = 0,
2p = 1
12
Jadi, diperoleh dua nilai yaitu p = 2 atau p = 1/2.