UTBK 2025/Pengetahuan Kuantitatif
Fungsi f dan g dengan variabel real didefinisikan sebagai berikut.

f(x) = 2x² + bx dan g(x) = x² – d

Untuk bilangan asli b dan d tertentu.

Apakah terdapat bilangan real r sehingga f(r) = g(r)?

Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.
(1)     b – 5d = 0
(2)    b > d + 1 

(A)     Pernyataan (1) SAJA cukup  untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

(B)     Pernyataan (2) SAJA cukup  untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

(C)    DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU saja tidak cukup.

(D)    Pernyataan (1) SAJA cukup  untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan (2) SAJA cukup.

(E)     Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Jawab: (D)

Pertama buat persamaan f(x) = g(x) dari persamaan f dan g yang diketahui. Persamaan yang dihasilkan seperti berikut.

2x² + bx = x² – d

x² + bx + d = 0

Akan terdapat nilai r sehingga f(r) = g(r) jika nilai diskriminan (D) sama dengan nol atau lebih dari nol. Saat D = 0, kedua kurva berpotongan pada satu titik. Sementara D > 0, kedua kurva berpotongan pada dua titik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa akan terdapat nilai r sehingga f(r) = g(r) saat nilai D ≥ 0.

Untuk persamaan y = ax² + bx + c
Rumus diskriminan: D = b² – 4ac

Sehingga, untuk persamaan y = x² + bx + d akan terdapat nilai r sehingga f(r) = g(r) saat nilai D = b² – 4d ≥ 0

Pernyataan (1) b – 5d = 0

b – 5d = 0
b = 5d

Sehingga,
D = (5d)² – 4d = 25d – 4d = 21d

Diketahui b dan d merupakan bilangan asli, sehingga nilai yang memenuhi untuk b dan d = 1, 2, 3, … (tidak ada bilangan negatif). Maka nilai D = 21d akan selalu positif dan memenuhi nilai D ≥ 0.

Saat nilai D ≥ 0 akan terdapat bilangan real r sehingga f(r) = g(r). Jadi, pernyaataan (1) saja cukup  untuk menjawab pertanyaan.

Pernyataan (2) b > d + 1 

Saat nilai b = d + 1, maka
D = (d + 1)² – 4d = d² + 2d + 1 – 4d = d² – 2d + 1 = (d – 1)²

Diperoleh persamaan D = (d – 1)² dan d merupakan bilangan asli. Sehingga nilai diskriminan akan selalu positif dan memenuhi D ≥ 0. Saat nilai D ≥ 0 akan terdapat bilangan real r sehingga f(r) = g(r). Jadi, pernyaataan (2) saja cukup  untuk menjawab pertanyaan.

Kesimpulan:
Pernyataan (1) SAJA cukup  untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan (2) SAJA cukup [D].