UTBK 2023/Penalaran Matematika
Suatu wahana kincir ria (jenis wheel) dilengkapi dengan 12 tempat duduk. Jarak antara tempat duduk ke-1 dan ke-3 adalah 6 m. Panjang tiap penyangga adalah 12 m. Untuk menggerakkan kincir Ria itu, dipasang roda penggerak pada poros pada kincir Ria.

Roda penggerak dan roda mesin penggerak mempunyai raidus yang sama yaitu 1 m, dan keduanya dihubungakan dengan sebuah sabuk. Roda mesin penggerak berada di bawah roda penggerak dengan titik pusat berjarak 2 m di atas tanah.

Pertanyaan:

• Soal 1
• Soal 2
• Soal 3

Soal 1

Radius lingkaran paling luar adalah … m.

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

Jawab: (A)

Misalkan titik untuk tempat duduk ke-1 dan ke-3 adalah P dan Q. Maka karak PQ = 6 m.

Akan ada 6 segitiga yang dibentuk ruas garis antara dua tempat duduk berselang satu. Keenam segitiga yang dibentuk sama besar.

Besar sudut untuk satu lingkaran penuh sama dengan 360^o. Sehingga besar ∠POQ sama dengan 360^o : 6 = 60^o. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Ketiga besar sudut segitiga sama dengan 60^o. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ΔOPQ merupakan segitiga sama kaki. Pada segitiga sama kaki, panjang ketiga sisinya sama panjang. Dengan begitu, panjang OP = OQ = PQ = 6 m.

Radius lingkaran kincir ria paling luar sama dengan OP = OQ. Jadi, radius lingkaran paling luar adalah 6 m (A).

Soal 2

Tinggi poros kincir ria adalah … m.

(A)   4√3

(B)   6√3

(C)   4√6

(D)   6√3 − 2

(E)   4√3 − 2

Jawab: (B)

Tinggi poros dari suatu wahana kincir ria sama dengan jarak titik pusat roda penggerak ke tanah. Titik pusat roda penggerak kincir adalah titik O.

Misalkan proyeksi titik O ke tanah adalah titik R. Tinggi poros kincir ria sama dengan panjang garis OR.

Diketahui panjang garis OS = 12 m (panjang tiang penyangga). Tinggi poros kincir ria adalah sama dengan panjang garis OR. Perbandingan panjang sisi OR dan OS sama dengan fungsi trigonomteri sin 60^o = ¹/₂√3.

Sehingga, panjang garis OR dapat dicari tahu dengan cara berikut.

OR = ¹/₂√3 × 12 = 6√3 m

Jadi, tinggi poros kincir ria adalah 6√3 m.

Soal 3

Panjang sabuk pada penggerak dan roda mesin penggerak adalah … m.

(A)    6√3 − 2 + 2π

(B)    12√3 − 2 + 2π

(C)    12√3 − 4 + 2π

(D)    12√2 − 2 + 2π

(E)    6√3 − 2 + 2π

Jawab: (C)

Panjang sabuk pada penggerak dan roda mesin penggerak pada suatu kincir ria tersebut sama dengan keliling lingkaran ditambah dua kali jarak antara dua titik poros roda.

Tinggi poros kincir ria adalah OR = 6√3 m dan jarak titik pusat roda mesin penggerak ke tanah adalah TR = 2 m (diketahui). Sehingga jarak kedua titik pusat roda penggerak sama dengan selisih OR dan TR.

Jarak kedua pusat roda penggerak = OT = OR − TR = (6√3 − 2) m

Panjang busur AB dan busur CD = keliling lingkaran = 2πr = 2×π×1 = 2π m

Panjang sabuk penggerak = 2OT + keliling lingkaran

=  2(6√3 − 2) + 2π

= 12√3 − 4 + 2π

Jadi, panjang sabuk pada penggerak dan roda mesin penggerak adalah 12√3 − 4 + 2π.