UTBK 2023/Penalaran Matematika
Tempat pakan ayam berbentuk balok dengan

dan tingginya x cm.

Soal 1

Volume maksimum tempat pakan ayam tersebut adalah … cm³.

(A)   256

(B)   300

(C)   336

(D)   400

(E)   450

Jawab: (D)

Dari soal dapat diketahui ukuran tempat pakan ayam berbentuk balok dengan luas alas dan tinggi seperti keterangan berikut.

• Luas alas balok:
  L_alas =  (−x + 20 + ³⁰⁰/_x) cm² 
• Tinggi balok: t = x cm

Fungsi volume balok dapat dibentuk melalui rumus V(x) = Luas alas × tinggi. Sehingga persamaan untuk volume balok dengan variabel x sesuai dengan persamaan berikut.

Fungsi volume balok:

V(x) = −x² + 20x + 300

Volume maksimum akan dicapai saat turunan pertama fungsi V(x) sama dengan nol (V’(x) = 0). Sehingga nilai x yang memenuhi saat volume maksimum dapat dicari tahu dengan cara berikut.

Volume maksimum:

V’(x) = 0 

−2x + 20 = 0

−2x = −20

x = ⁻²⁰/₋₂ = 10 cm

Volume maksimum diperoleh ketika x = 10 cm. Substitusi nilai x = 10 pada persamaan V(x) = −x² + 20x + 300 untuk mendapatkan nilai volume maksimum.

Menghitung volume maksimum:

V(10) = −(10)² + 20(10) + 300

= −100 + 200 + 300

= 400 cm³

Jadi, volume maksimum tempat pakan ayam tersebut adalah (D) 400 cm³.

Soal 2

Jika tempat pakan ayam tersebut diisi setengah dari volume maksimum maka pakan ayam dalam balok mencapai tinggi … cm.

(A)   1

(B)   2

(C)   3

(D)   4

(E)    5

Jawab: (E)

Dari hasil perhitungan pada pembahasan soal 1 diketahui bahwa tempat pakan ayam berbentuk balok dengan luas alas  (−x + 20 + ³⁰⁰/_x) cm² dan tinggi x cm memiliki volume maksimum saat x = 10 cm.

Saat tempat pakan ayam diisi setengah dari volume maksimum maka pakan ayam dalam balok mencapai ¹/₂x = ¹/₂×10 = 5 cm. Jadi, jika tempat pakan ayam tersebut diisi setengah dari volume maksimum maka pakan ayam dalam balok mencapai tinggi (E) 5 cm.