UTBK 2024/Penalaran Matematika
Terdapat seorang pesulap yang sedang melakukan satu trik sulapnya, yaitu mengeluarkan asap dari dalam mulut. Dari mulut, asap tersebut keluar membentuk lingkaran sempurna. Jari-jari dari asap itu akan bertambah 0,5 cm setiap detiknya, dan asap tersebut akan memudar lalu hilang setiap di detik ke 10.

Daftar soal:

• Soal 1
• Soal 2
• Soal 3

Soal 1

Jika R(t) merupakan jari-jari lingkaran asap setiap t detik, maka R(t) dapat dinyatakan dengan persamaan …
(A) R(t) = 0,5t
(B) R(t) = 10t
(D) R(t) = 10t + 0,5
(C) R(t) = 0,5t + 10
(E) R(t) = 10,5t

Jawab: (A)

Diketahui:
Jari-jari awal kerucut: r₀ = 0,5 cm
Lingkaran asap pudar pada detik ke-10

Jari-jari awal lingkaran awalnya 0 cm kemudian menjadi 0,5 cm setiap detiknya. Pola perubahan jari-jari lingkaran asap membentuk barisan geometri yaitu 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; dan seterusnya sampai hilang pada detik ke-10.

Pola yang sesuai untuk barisan aritmatika tersebut adalah 0,5 × t. Jadi, persamaan jari-jari lingkaran asap setiap t derik adalah R(t) = 0,5t.

Soal 2

Jika asap tersebut membentuk sebuah kerucut dengan volumenya 400π cm³. Maka jarak antara pesulap dengan lingkaran yang memudar adalah … cm.
(A) 40
(B) 48
(C) 56
(D) 60
(E) 80

Jawab: (B)

Jari-jari maksimal kerucut terjadi pada detik ke-10. Sehingga jari-jari maksimal kerucut saat memudar adalah R(10) = 0,5 cm × 10 = 5 cm.

Jarak antara pesulap dengan lingkaran yang memudar sama dengan tinggi kerucut. Cara menghitungnya dilakukan seperti berikut.

Volume kerucut = 400π

¹/₃ × π × r² × t = 400π  

¹/₃ × π × 10² × t = 400π

25 × t = 12.000

Jadi,  jarak antara pesulap dengan lingkaran yang memudar adalah 48 cm.

Soal 3

Jika 2 orang pesulap saling berhadapan dan melakukan trik sulap bersamaan. Lalu asap tersebut membentuk kerucut dengan masing-masing volumenya sama, yaitu 250π cm³. Jika pada detik ke-10 kedua asap sudah saling sepusat dan sama besar. Maka jarak antara 2 pesulap tersebut adalah … cm.
(A) 30
(B) 40
(C) 60
(D) 70
(E) 100

Jawab: (C)

Jarak antara kedua pusat sama dengan dua kali jari-jari kerucut. Sehingga perlu diketahui tinggi kerucut yang dihasilkan terlebih dahulu.

Volume kerucut = 250π

¹/₃ × π × 5² × t = 250π  

5 × t = 750

Jadi,  jarak antara 2 pesulap tersebut adalah 2 × 60 cm.