Akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 adalah x1 dan x2. Jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut memenuhi persamaan x1 = 2x2 maka nilai p adalah . . . .
A. ‒1/2 atau 2
B. 1/2 atau ‒2
C. 1/2 atau 2
D. 1 atau ‒2
E. ‒1 atau 2
Pembahasan:
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut dapat diketahui dengan rumus x1 + x2 = ‒b/a dan x1· x2 = c/a. Di mana a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x, sedagkan c adalah konstanta.
Pada persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 memiliki nilai a = 1, b = ‒(1 + p), dan c = p. Sehingga nilai untuk jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diketahui dengan cara berikut.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0:
x1 + x2 = ‒b/a
x1 + x2 = ‒‒(1 + p)/1
x1 + x2 = p + 1
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0:
x1· x2 = c/a
x1· x2 = p/1 = p
Diketahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 memenuhi persamaan x1 = 2x2. Substitusi x1 = 2x2 ke persamaan x1 + x2 = p + 1 dan x1· x2 = p untuk mendapatkan persamaan x2 dalam variabel p.
Persamaan (i): x1 + x2 = p + 1
2x2 + x2 = p + 1
3x2 = p + 1
x2 = ⅓(p + 1)
Persamaan (ii): x1· x2 = p
2x2 · x2 = p
2x22 = p
Substitusi nilai persamaan (i): x2 = ⅓(p + 1) ke persamaan (ii): 2x22 = p yang akan menghasilkan persamaan kuadrat dalam variabel p seperti berikut.
2x22 = p
2(⅓(p + 1))2 = p
2(1/9(p2 + 2p + 1)) = p
2/9(p2 + 2p + 1) = p
2(p2 + 2p + 1) = 9p
2p2 + 4p + 2 = 9p
2p2 + 4p ‒ 9p + 2 = 0
2p2 ‒ 5p + 2 = 0
Diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel p yaitu 2p2 ‒ 5p + 2 = 0 sehingga ada dua nilai p yang memenuhi. Untuk mendapatkan nilai p dapat dilakukan dengan cara melakukan pemfaktoran 2p2 ‒ 5p + 2 = 0 seperti yang dilakukan pada cara berikut.
2p2 ‒ 5p + 2 = 0
2p2 ‒ p ‒ 4p + 2 = 0
p(2p ‒ 1) ‒ 2(2p ‒ 1) = 0
(p ‒ 2)(2p ‒ 1) = 0
Dari hasil pemfaktoran dipereloh nilai p ‒ 2 = 0 atau 2p ‒ 1 = 0, sehingga nilai p yang memenuhi dapat diketahui dengan cara berikut.
- p ‒ 2 = 0
p = 2
- 2p ‒ 1 = 0
2p = 1
p = 1/2
Jadi, nilai p jika akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ (1 + p)x + p = 0 adalah x1 dan x2 yang memenuhi x1 = 2x2 adalah p = 2 atau p = 1/2.
Jawaban: C
Soal serupa: