UTBK 2019/PK
Bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, dan 8 dengan semua angka selain 1 muncul tepat dua kali ada sebanyak ….
(A)  60
(B)  90
(C)  360
(D)  720
(E)  5.040

Jawab: (B)

Cara mengetahui banyak bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, dan 8 menggunakan aturan pengisian tempat (filling slots). Untuk bilangan ganjil tujuh angka maka sediakan tujuh slot yang akan diisi oleh angka-angka 1, 2, 4, dan 8 sesuai dengan aturan yang diberikan.

slot
I
slot
2
slot
3
slot
4
slot
5
slot
6
slot
7

Cara pengisian untuk masing-masing slot:

  • Pertama isi slot 7 agar dapat membentuk suatu bilangan ganjil. Hanya angka ganjil yang dapat mengisi slot 7 sehingga slot 7 hanya dapat diisi oleh angka 1. Jadi, banyak angka yang dapat mengisi slot 7 ada 1 angka.
slot
1
slot
2
slot
3
slot
4
slot
5
slot
6
1

Untuk selanjutnya adalah pengisian slot 1 sampai slot 6. Angka-angka yang dapat mengisi keenam slot tersebut adalah 2, 4, dan 8 yang dapat muncul sebanyak dua kali. Sehingga banyak angka yang dapat mengisi keenam slot ada 6 yaitu 2, 2, 4, 4, 8, dan 8.

Ada enam angka yang memiliki beberapa unsur yang sama. Sehingga banyak susunan yang dapat terbentuk dihitung menggunakan rumus permutasi untuk k unsur yang sama.

Rumus permutasi untuk k1, k2, …, kn yang sama:

nPk1, k2, …, kn =
n! k1 × k2 × … × kn

  • Keterangan:
    • n = banyak unsur
    • k1, k2, …, kn = banyak unsur-unsur yang sama
    • ! = notasi faktorial

Untuk angka-angka 2, 2, 4, 4, 8, dan 8 (n = 6) ada k1 = 2, k2 = 2, k3 = 2 unsur yang sama sehingga banyak susunan bilangan dapat dihitung dengan cara berikut.

6P2, 2, 2 =
6! 2! 2! 2!

=
6 · 5 · 4 · 3 · 2! 2! 2! 2!

=
6 · 5 · 4 · 3 · 2! 2 · 2


= 6 · 5 · 3

= 90

Jadi, bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, dan 8 dengan semua angka selain 1 muncul tepat dua kali ada sebanyak 90.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.