UTBK 2019/PK
Bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, dan 8 dengan semua angka selain 1 muncul tepat dua kali ada sebanyak ….
(A) 60
(B) 90
(C) 360
(D) 720
(E) 5.040
Jawab: (B)
Cara mengetahui banyak bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, dan 8 menggunakan aturan pengisian tempat (filling slots). Untuk bilangan ganjil tujuh angka maka sediakan tujuh slot yang akan diisi oleh angka-angka 1, 2, 4, dan 8 sesuai dengan aturan yang diberikan.
| slot I | slot 2 | slot 3 | slot 4 | slot 5 | slot 6 | slot 7 |
Cara pengisian untuk masing-masing slot:
- Pertama isi slot 7 agar dapat membentuk suatu bilangan ganjil. Hanya angka ganjil yang dapat mengisi slot 7 sehingga slot 7 hanya dapat diisi oleh angka 1. Jadi, banyak angka yang dapat mengisi slot 7 ada 1 angka.
| slot 1 | slot 2 | slot 3 | slot 4 | slot 5 | slot 6 | 1 |
Untuk selanjutnya adalah pengisian slot 1 sampai slot 6. Angka-angka yang dapat mengisi keenam slot tersebut adalah 2, 4, dan 8 yang dapat muncul sebanyak dua kali. Sehingga banyak angka yang dapat mengisi keenam slot ada 6 yaitu 2, 2, 4, 4, 8, dan 8.
Ada enam angka yang memiliki beberapa unsur yang sama. Sehingga banyak susunan yang dapat terbentuk dihitung menggunakan rumus permutasi untuk k unsur yang sama.
Rumus permutasi untuk k1, k2, …, kn yang sama:
- Keterangan:
- n = banyak unsur
- k1, k2, …, kn = banyak unsur-unsur yang sama
- ! = notasi faktorial
Untuk angka-angka 2, 2, 4, 4, 8, dan 8 (n = 6) ada k1 = 2, k2 = 2, k3 = 2 unsur yang sama sehingga banyak susunan bilangan dapat dihitung dengan cara berikut.
= 6 · 5 · 3
= 90
Jadi, bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, dan 8 dengan semua angka selain 1 muncul tepat dua kali ada sebanyak 90.