5 Rumus Permutasi dan Contoh Soalnya

Permutasi adalah banyak cara menyusun beberapa obyek dengan memerhatikan urutan. Contohnya adalah permutasi susunan pengurus kelas yang terdiri dari ketua dan sekretaris. Saat ada dua siswa yang bisa dipilih untuk menjadi pengurus, misalknya Aisyah, Beni, dan Chila. Rumus permutasi yang dapat digunakan untuk mengetahui banyak susunan pengurus adalah P(n, r) = n!(n-r)!

Dengan rumus permutasi dapat diperoleh enam susunan saat memiliki dua siswa dari tiga siswa yang tersedia. Keenam susunan tersebut adalah {Aisyah, Beni}; {Aisyah, Chila}; {Beni, Aisyah}; {Beni, Chila}; {Chila, Aisyah}; dan {Chila, Beni}. Pada permutasi, {Aisyah, Beni} berbeda dengan {Beni, Aisyah} karena urutan ketua = Aisyah dan wakil = Beni berbeda dengan ketua = Beni dan wakil = Aisyah.

Selain permutasi memilih r obyek dari n obyek yang tersedia, ada empat bentuk permutasi lain. Sehingga ada lima masalah permutasi yang dapat diselesaikan menggunakan rumus permutasi yang berbeda. Lebih banyak mengenai 5 rumus permutasi ada pada rincian berikut.

Baca Juga: Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

5 Rumus Permutasi

Ada lima permutasi yang perlu diketahui yaitu permutasi r elemen dari n elemen (r < n), permutasi untuk pengulangan elemen tidak diperbolehkan, permutasi untuk pengulangan elemen diperbolehkan, permutasi beberapa unsur yang sama, dan permutasi siklis. Kelima rumus permutasi tersebut ada pada masing-masing ulasan di bawah.

1) Permutasi r elemen dari n elemen (r < n)

Permutasi r elemen dari n elemen digunakan untuk menentukan banyak susunan untuk memilih r obyek dan n obyek yang tersedia. Rumus permutasi r elemen dari n elemen adalah P(n, r) = nPr = (nr) = n!/(n‒r)!

Rumus Permutasi r Elemen dari n Elemen

Contoh soal yang diselesaikan dengan rumus permutasi r elemen dari n elemen adalah banyak susunan pengurus. Misalnya pada banyak susunan pengurus untuk ketua, wakil, dan bendahara dari 10 siswa. Di sini terdapat masalah permutasi susunan pengurus untuk r = 3 elemen dari n = 10 elemen yang tersedia.

2) Permutasi untuk pengulangan elemen tidak diperbolehkan

Permutasi untuk pengulangan elemen tidak diperbolehkan menggunakan rumus n · (n-1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 = n! (dibaca: n faktorial) saat elemen yang disusun sama dengan elemen yang tersedia.

n·(n-1)·(n-2) · … · 3·2·1= n!

Saat banyak elemen yang disusun sebanyak r dan elemen yang tersedia sebanyak n, rumus permutasi yang digunakan adalah n · (n-1) · (n-2) · … · (n-r). Untuk kondisi lain, misalnya seperti contoh soal permutasi nomor 2 di bawah, dapat menggunakan aturan pengisian tempat.

3) Permutasi untuk pengulangan elemen diperbolehkan

Saat pengulangan elemen diperbolehkan, banyak susunan yang mungkin adalah perkalian banyak elemen sebanyak r kali. Misalkan tersedia n elemen yang menusun r tempat. Permutasi saat pengulangan elemen diperbolehkan menjadi sebanyak n × n × … × n (perkalian n sebanyak r kali).

Rumus permutasi saat pengulangan diperbolehkan

Contoh masalah permutasi untuk pengulangan elemen diperbolehkan adalah banyak susunan sandi dari enam angka yang boleh berulang. Setiap digitnya dapat diisi oleh bilangan nol sampai sembilan (n = 10). Sehingga banyak susunan sandi yang dapat dibuat adalah nr = 106 = 1.000.000 susunan.

Contoh penggunaan rumus permutasi untuk pengulangan elemen diperbolehkan terdapat pada contoh soal permutasi nomor 3 pada bagian contoh soal dan pembahasan di bagian akhir bahasan.

4) Permutasi k1, k2, k3, …, kr unsur yang sama

Permutasi n elemen dengan k1, k2, k3, …, kr unsur yang sama memiliki banyak susunan nPk1, k2, …, kr = n!/k1!·k2!·…·kr! dengan n = k1 + k2 + … + kr. Contoh permutasi k1, k2, k3, …, kr unsur yang sama terdapat pada susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf dari suatu kata.

 Permutasi k1, k2, k3, …, kr unsur yang sama

Bagaimana penggunaan rumus permutasi k1, k2, k3, …, kr unsur yang sama terdapat pada penyelesaian soal permutasi nomor 4 pada contoh soal dan pembahasan di akhir bagian.

5) Permutasi siklis

Untuk r obyek dari n obyek tersedia yang disusun secara melingkar masuk dalam bahasan permutasi siklis. Rumus permutasi siklis adalah P(siklis, n) = (n ‒ 1)! Contoh permutasi siklis terdapat pada susunan siswa yang sedang berdiskusi pada sebuah meja bundar.

Rumus Permutasi Siklis

Bagaimana penggunaan rumus permutasi siklis terdapat pada penyelesaian soal permutasi nomor 5 pada contoh soal dan pembahasan di akhir bagian.

Diketahui ada lima rumus permutasi yang dapat digunakan untuk menyelesaian berbagai bentuk masalah permutasi. Ringkasan kelima rumus permutasi di atas terdapat pada tabel di bawah.

Jenis permutasiRumus permutasi
Permutasi r elemen dan n elemennPr = n!/(n‒r)!
Pengulangan elemen tidak diperbolehkann · (n-1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 = n!
Pengulangan elemen diperbolehkannr
k1, k2, k3, …, kr unsur samanPk1, k2, …, kr = n!/k1!·k2!·…·kr!
SiklisP(siklis, n) = (n ‒1)!

Bagaiman cara penggunaan rumus-rumus permutasi di atas terdapat pada penyelesaian beberapa contoh soal di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat digunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk

Dari 8 orang calon pengurus karang taruna akan dipilih satu orang ketua, satu orang sekretaris, dan satu orang bendahara. Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah ….
A. 56
B. 120
C. 210
D. 336
E. 343

Pembahasan:
Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk dapat dicari menggunakan rumus permutasi. Ada tiga pilih jabatan yang akan dijabat dari 8 calon, sehingga perhitungan dilakukan untuk 8P3.


Menghitung nilai 8P3:

8P3
  =
8! (8 – 3)!
=
8! 5!
  =
8·7·6·5! 5!
=
8·7·6 1
= 336


Jadi, banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah 336.

Jawaban: D

Baca Juga: Cara Menentukan Nilai n pada Notasi Faktorial

Contoh 2 – Banyak nomor PIN

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun nomor PIN yang terdiri dari empat angka. Banyak nomor PIN yang berupa bilangan >4.000 yang dapat disusun dengan tidak ada angka yang berulang adalah ….
A. 120
B. 180
C. 360
D. 480
E. 648

Pembahasan:
Nomor PIN terdiri dari empat angka, sehingga banyak penyusunan nomor PIN merupakan perkalian dari empat bilangan yang memenuhi.

digit
ke-1
digit
ke-2
digit
ke-3
digit
ke-4

Susunan nomor PIN berupa bilangan >4.000 dengan tidak ada angka yang berulang. Pengisian bilangan untuk keempat digit menyesuaikan kondisi berikut.

  • Digit ke-1: dapat ditempat oleh angka 4, 5, dan 6 karena PIN berupa bilangan >4.000 → n1 = 3
  • Digit ke-2: dapat ditempat oleh angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 (enam angka) dikurangi satu angka karena sudah dipakai pada digit pertama → n1 = 5
  • Digit ke-3: dapat ditempat oleh enam angka dikurangi dua karena dua angka sudah dipakai pada digit pertama dan kedua → n3 = 4
  • Digit ke-4: dapat ditempat oleh enam angka dikurangi tiga karena tiga angka sudah dipakai pada digit pertama, kedua, dan ketiga → n4 = 3

Jadi, banyak nomor PIN dengan bilangan >4.000 yang dapat disusun dengan tidak ada angka yang berulang adalah n1 · n2 · n3 · n4 = 3 · 5 · 4 · 3 = 180.

Jawaban: B

Contoh 3 – Banyak bilangan ratusan ganjil

Banyak bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah ….
A. 60
B. 90
C. 108
D. 120
E. 216

Pembahasan:
Banyak bilangan ratusan ganjil memiliki tiga digit yang angka-angka bisa berulang karena tidak ada keterangan bahwa angka tidak boleh berulang.

digit
ke-1
digit
ke-2
digit
ke-3
ratusan

Angka-angkan yang dapat menempati digit adalah 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Ketentuan angka-angka yang bisa menempati digit ke-1, 2, dan 3:

  • Digit ke-1: semua angka bisa menempati kecuali 0 karena saat nol berada pada digit pertama maka nilai bilangan bukan lagi menjadi ratusan namun puluhan → n1 = 5
  • Digit ke-2: semua angka bisa menempati → n2 = 6
  • Digit ke-3: angka yang bisa menempati adalah 2, 3, dan 5 agar nilai bilangan menjadi ganjil → n3 = 3


Jadi, banyak bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah n1 · n2 · n3 = 5 · 6 · 3 = 90.

Jawaban: B

Contoh 4 – Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf

Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” adalah ….
A. 1.680
B. 5.040
C. 8.400
D. 10.080
E. 20.160

Pembahasan:
Kata “KALKULUS” terdiri dari 8 huruf (n = 8) yang terdiri dari 2 huruf K (k1 = 2), 1 huruf A (k2 = 1), 2 huruf L (k3 = 2), 2 huruf U (k4 = 2) dan 1 huruf S (k5 = 1). Banyak susunan berbeda dihitung dengan rumus permutasi k1, k2, k3, k4, dan k4 unsur sama seperti berikut.

8P2, 1, 2, 2, 1
  =
8! 2! · 1! · 2! · 2! · 1!
  =
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2! 2! · 1! · 2! · 2! · 1!
  =
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 2 · 2
  =
20.160 4
  = 5.040


Jadi, banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” adalah 5.0440

Jawaban: B

Contoh 5 – Banyak susunan duduk melingkar

Banyak cara 7 orang akan duduk secara melingkar jika 4 orang harus selalu duduk berdampingan adalah ….
A. 210
B. 144
C. 72
D. 24
E. 6

Pembahasan:
Dari soal diketahui banyak obyek ada 7 orang yang duduk secara melingkar dengan 4 orang harus selalu duduk berdampingan. Cara duduk melingkar untuk 4 orang dianggap 1 sehingga menjadi permutasi (7 − 4) + 1 = 4 obyek.

Cara empat orang yang selalu duduk perdampingan adalah 4! dan permutasi 4 obyek adalah P(siklis, 4) = 3!

Jadi, banyak cara 7 orang akan duduk secara melingkar jika 4 orang harus selalu duduk berdampingan = 4! · P(siklis, 4) = 4! · 3! = 4 · 3 · 2 · 1 · 3 · 2 · 1 = 144 cara.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan cara menggunakan rumus permutasi berserta cara menggunakannya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Soal Tes Potensi Skolastik Duduk Melingkar

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.