Banyak cara untuk menyusunan beberapa obyek dengan memerhatikan urutan dari obyek-obyek yang tersedia dapat diketahui melalui rumus permutasi. Bahasan mengenai permutasi merupakan bagian dari materi kombinatorika. Kombinatorika sendiri adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari cara menentukan banyak kemungkinan yang terjadi dari suatu percobaan.
Selain permutasi, bahasan dalam kombinatorika juga mencakup kaidah pencacahan dan kombinasi. Ketiga bahasan materi dalam bahasan kombinatorika tersebut digunakan untuk permasalahan yang berbeda.
Kaidah pencacahan digunakan untuk menentukan banyak kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan. Sedangkan kombinasi adalah materi kombinatorika yang digunakan untuk menentukan banyak susunan/cara memilih obyek dari beberapa obyek yang tersedia tanpa memerhatikan urutan.
Untuk permutasi adalah kombinatorik yang digunakan untuk menentukan banyaknya susunan atau cara yang dapat dibentuk dengan memerhatikan urutan. Bagaimana bentuk rumus permutasi? Bagaimana perhitungan yang dilakukan dengn rumus permutasi? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
Baca Juga: Pengertian+Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
Pengantar Permutasi
Banyak cara yang dapat disusun dengan memerhatikan urutan susunan merupakan masalah permutasi. Sehingga rumus permutasi digunakan untuk menentukan banyaknya susunan obyek yang dapat dibentuk dengan memerhatikan urutan. Misalnya, rumus permutasi untuk menentukan banyak susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk untuk jabatan ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara.
Dari pemisalan, susunan untuk Ketua = Andi, Wakil Ketua = Bela, Sekretaris = Sintia, dan Bendahara = Danu akan berbeda dengan susunan untuk Ketua = Bela, Wakil Ketua = Andi, Sekretaris = Sintia, dan Bendahara = Andi. Begitu juga untuk susunan lain seperti misalnya Ketua = Danu, Wakil Ketua = Bela, Sekretaris = Sintia, dan Bendahara = Andi.
Meskipun empat jabatan pengurus kelas sama-sama dipegang oleh empat orang yang sama, namun jenis jabatan yang dipegang berbeda-beda. Sehingga ketiga contoh susunan tersebut dihitung sebagai banyak cara yang berbeda.
Perlu diperhatikan bahwa karakteristik dari masalah permutasi adalah penyusunan obyek yang memperhatikan urutan.
Baca Juga: Cara Menentukan Nilai n pada Notasi Faktorial
Rumus Permutasi r Obyek dari n Obyek Tersedia
Permutasi adalah masalah banyak penyusunan beberapa obyek yang memperhatikan urutan dari obyek-obyek yang tersedia. Permutasi untuk r obyek dari n obyek dapat dituliskan dengan P(n, r); nPr; atau (nr). Di mana persamaan umum untuk nPr sama dengan perbandingan n! dengan (n‒r)!
Bentuk persamaan matematis untuk rumus permutasi ditunjukkan seperti berikut.
Pada rumus permutasi melibatkan operasi hitung dengan notasi faktorial (!). Cara melakukan operasi hitung yang dilakukan pada notasi faktorial adalah mengalikan bilangan asli terbesar urut sampai bilangan satu. Sebagai contoh, operasi hitung yang dilakukan untuk notasi 5! adalah 5×4×3×2×1 = 120.
Baca Juga: Rumus Kombinasi dan Contoh Cara untuk Menghitungnya
Rumus Permutasi Siklis n Obyek (Urutan Melingkar)
Untuk r obyek dari n obyek tersedia yang disusun secara melingkar masuk dalam bahasan permutasi siklis. Persamaan untuk menentukan banyak urutan melingkar untuk n obyek dapat menggunakan rumus P(siklis, n) = (n ‒ 1)!
Sebagai contoh, banyak urutan yang dapat dibentuk dari 5 obyek yang disusun melingkar adalah P(siklis, 5) = (5 ‒ 1)! = 4! = 4×3×2×1 = 24.
Baca Juga: Soal Tes Potensi Skolastik Duduk Melingkar
Cara Menggunakan Rumus Permutasi
Rumus permutasi pada umummya digunakan untuk menentukan banyak susunan yang dapat dibenutk untuk menjadi pengurus. Sebagai contoh, sebanyak pengrus kelas yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan humas akan dipilih dari lima belas siswa dalam suatu kelas.
Banyak susunan yang dapat dibentuk menjadi pengurus kelas tersebut dapat diketahui melalui rumus permutasi. Di mana perhitungan yang dilakukan untuk mendapatkan banyak susunan pengurus yang terdiri dari 3 posisi dari 15 siswa dilakukan seperti cara berikut.
Dari hasil perhitungan dapat diketahui bahwa banyak susunan untuk 3 posisi yang diisi oleh 15 siswa adalah 2.730 susunan.
Baca Juga: Cara Melakukan Operasi Hitung dengan Notasi Faktorial
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat digunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Penggunaan Rumus Permutasi
Dari 8 orang calon pengurus karang taruna akan dipilih satu orang ketua, satu orang sekretaris, dan satu orang bendahara. Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah ….
A. 56
B. 120
C. 210
D. 336
E. 343
Pembahasan:
Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk dapat dicari menggunakan rumus permutasi. Ada tiga pilih jabatan yang akan dijabat dari 8 calon, sehingga perhitungan dilakukan untuk 8P3.
Jadi, banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah 336.
Jawaban: D
Contoh 2 – Penggunaan Rumus Permutasi
Dari 8 orang calon termasuk Joko akan dipilih 4 orang sebagai pengurus kelas, yaitu sebagai ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak susunan pengurus kelas yang mungkin terjadi, jika Joko harus menjadi ketua kelas adalah ….
A. 35 susunan
B. 56 susunan
C. 210 susunan
D. 336 susunan
E. 1.680 susunan
Pembahasan:
Jabatan ketua hanya akan dipegang oleh Joko namun untuk jabatan wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dipilih dari 7 orang. Sehingga cara menentukan banyak susunan pengurus kelas yang mungkin terjadi dilakukan melalui rumus permutasi 7P3.
Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang mungkin terjadi, jika Joko harus menjadi ketua kelas adalah 210 susunan.
Jawaban: C
Contoh 3 – Penggunaan Rumus Permutasi
Diketahui 6 siswa dan 3 siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang tidak ada siswi berdampingan adalah ….
A. 1/4
B. 1/5
C. 5/14
D. 2/5
E. 3/8
Pembahasan:
Banyak cara mengelilingi meja bundar dapat diketahui melalui perhitungan dengan rumus permutasi siklis. Susunan yang dapat terjadi untuk 6 siswa dan 3 siswi mengelilingi meja bundar dapat dihitung dengan cara berikut.
Kejadian untuk banyak susunan untuk tidak ada siswi berdampingan terdapat saat 3 siswi berada di antara 6 siswa. Cara 6 siswa menempati meja bundar dapat dihitung dengan permutasi siklis P(siklis, 6) = (6 ‒ 1)! = 5!
Sedangkan cara 3 siswi menempati meja bundar sama dengan banyak cara menempati enam posisi diantara dua siswa. Sehingga banyak cara 3 siswi untuk tidak berdampingan dapat dihitung dengan rumus permutasi 3 obyek dari 6 obyek (6P3).
Perhitungan banyak susunan yang dapat terjadi untuk tidak ada siswi berdampingan dapat dilakukan seperti cara berikut.
Peluang tidak ada siswi berdampingan saat mengelilingi meja bundar:
= banyak kejadian/ruang sampel
= 14.400/40.320
= 5/14
Jadi, peluang tidak ada siswi berdampingan adalah 5/14 .
Jawaban: C
Demikianlah tadi ulasan cara menggunakan rumus permutasi berserta cara menggunakannya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Penerapan Masalah Kaidah Pencacahan