Rumus Permutasi dan +5 Contoh Soalnya

Permutasi adalah banyak cara menyusun beberapa obyek dengan memerhatikan urutan. Ada lima rumus permutasi yang perlu diketahui. Rumus permutasi r obyek dari n obyek, permutasi siklis, dan permutasi untuk k1, k2, …, kn elemen yang sama dari n elemen adalah n!/k1 · k2 · … · kn.

Selain itu ada rumus permutasi saat terdapat pengulangan elemen dan permutasi saat pengulangan elemen tidak dibolehkan. Pembahasan detail rumus permutasi ada di bawah.

Daftar isi:

Contoh Masalah Permutasi

Contoh permutasi adalah susunan pengurus kelas yang terdiri dari ketua dan sekretaris. Saat ada tiga siswa yang akan dipilih menjadi pengurus. Misalkan ketiga siswa tersebut adalah Aisyah, Beni, dan Chila.

Susunan pengurus yang mungkin adalah {Aisyah, Beni}; {Aisyah, Chila}; {Beni, Aisyah}; {Beni, Chila}; {Chila, Aisyah}; dan {Chila, Beni}. Pada permutasi, susunan {Aisyah, Beni} berbeda dengan susunan {Beni, Aisyah}. INGAT!! Karena pada permutasi memerhatikan susunan.

Susunan untuk {Aisyah, Beni} berarti jabatan ketua = Aisyah dan wakil = Beni. Sedangkan susunan untuk {Beni, Aisyah} berarti jabatan ketua = Beni dan wakil = Aisyah. Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang terdiri dari ketua dan sekretaris ada 6.

Baca Juga: Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

5 Rumus Permutasi

Ringkasan lima rumus permutasi yang perlu diketahui terdapat pada tabel di bawah.

Jenis permutasiRumus permutasi
Permutasi r elemen dan n elemennPr = n!/(n‒r)!
k1, k2, k3, …, kr unsur sama
nPk1, k2, …, kr = n!/k1!·k2!·…·kr!
SiklisP(siklis, n) = (n ‒1)!
Pengulangan elemen tidak diperbolehkann · (n-1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 = n!
Pengulangan elemen diperbolehkannr

Penjelasan lebih banyak mengenai lima rumus permutasi di atas terdapat ada di bawah.

1) Rumus Permutasi r elemen dari n elemen (r < n)

Rumus permutasi r elemen dari n elemen adalah P(n, r) = nPr = (nr) = n!/(n‒r)! Rumus ini digunakan untuk mengetahui banyak susunan r elemen yang dapat dibentuk oleh n elemen.

Rumus Permutasi r Elemen dari n Elemen

Contoh soal rumus permutasi r elemen dari n elemen adalah banyak susunan pengurus. Misalnya pada banyak susunan pengurus untuk ketua, wakil, dan bendahara dari 10 siswa.

Susunan pengurus terdiri dari r = 3 elemen dari n = 10 elemen yang tersedia. Rumus permutasi yang sesuai adalah 10P3. Cara menghitungnya dilakukan seperti berikut.

10P3 =
10! (10 – 3)!
=
10·9·8·7! 7!
= 720

2) Rumus Permutasi k1, k2, …, kr unsur yang sama

Permutasi n elemen dengan k1, k2, …, kr unsur yang sama memiliki banyak susunan nPk1, k2, …, kr = n!/k1!·k2!·…·kr! dengan n = k1 + k2 + … + kr. Contoh permutasi k1, k2, …, kr unsur yang sama terdapat pada susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf dari suatu kata.

 Permutasi k1, k2, k3, …, kr unsur yang sama

Cara menggunakan rumus permutasi k1, k2, …, kr unsur yang sama ada pada penyelesaian contoh soal permutasi nomor 3 di akhir pembahasan.

3) Rumus Permutasi Siklis

Rumus permutasi siklis adalah P(siklis, n) = (n ‒ 1)! Rumus ini digunakan untuk mengetahui banyak susunan yang dibentuk n obyek yang disusun melingkar.

Rumus Permutasi Siklis

Contoh permutasi siklis terdapat pada susunan siswa yang sedang berdiskusi pada sebuah meja bundar. Cara menggunakan rumus permutasi siklis adalah pada penyelesaian contoh soal permutasi nomor 4 di akhir bahasan ini.

4) Permutasi untuk pengulangan elemen tidak diperbolehkan

Rumus permutasi untuk pengulangan elemen tidak diperbolehkan adalah n · (n-1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 = n! Notasi n! adalah operasi hitung n faktorial yaitu perkalian bilangan asli sampai ke n.

Cara menggunakan rumus ini ada pada langkah penyelesaian di bawah.

Soal:
Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun nomor PIN yang terdiri dari empat angka. Tentukan banyak nomor PIN berupa bilangan >4.000 yang dapat disusun dengan tidak ada angka yang berulang!

Jawab:
Nomor PIN terdiri dari empat angka. Sehingga perlu menyusun empat digit angka.

Susunan nomor PIN berupa bilangan >4.000 dengan tidak ada angka yang berulang. Pengisian bilangan untuk keempat digit menyesuaikan kondisi berikut.

Digit ke-Angka yang dapat menempati
14, 5, dan 6 karena PIN berupa bilangan >4.000 → n1 = 3
21, 2, 3, 4, 5, dan 6 (enam angka) dikurangi satu angka karena sudah dipakai pada digit pertama → n1 = 5
3sebanyak enam angka dikurangi dua karena dua angka sudah dipakai pada digit pertama dan kedua → n3 = 4
4sebanyak enam angka dikurangi tiga karena tiga angka sudah dipakai pada digit pertama, kedua, dan ketiga → n4 = 3

Jadi, banyak nomor PIN dengan bilangan > 4.000 yang dapat disusun dengan tidak ada angka yang berulang adalah n1 · n2 · n3 · n4 = 3 · 5 · 4 · 3 = 180.

5) Permutasi untuk pengulangan elemen diperbolehkan

Saat pengulangan elemen diperbolehkan, banyak susunan yang mungkin adalah perkalian banyak elemen sebanyak r kali. Misalkan tersedia n elemen yang menusun r tempat.

Permutasi saat pengulangan elemen diperbolehkan menjadi sebanyak n × n × … × n (perkalian n sebanyak r kali).

Banyak susunan saat pengulangan elemen diperbolehkan

Contoh masalah permutasi untuk pengulangan elemen diperbolehkan adalah banyaj susunan sandi dengan angka yang boleh berulang. Misalnya, sebuah santi terdriri dari enam angka.

Semua angka yang dapat menempati digit sandi adalah bilangan nol sampai sembilan (n = 10). Sehingga banyak susunan sandi yang dapat dibuat adalah nr = 106 = 1.000.000 susunan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa bentuk contoh soal permutasi ada di bawah.

Contoh 1 – Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk

Dari 8 orang calon pengurus karang taruna akan dipilih satu orang ketua, satu orang sekretaris, dan satu orang bendahara. Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah ….
A. 56
B. 120
C. 210
D. 336
E. 343

Pembahasan:
Ada tiga jabatan yang akan dijabat dari 8 calon. Sehingga rumus permutasi yang digunakan adalah 8P3.

Menghitung nilai 8P3:

8P3
  =
8! (8 – 3)!
=
8! 5!

  =
8·7·6·5! 5!
=
8·7·6 1
= 336


Jadi, banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah 336.

Jawaban: D

Baca Juga: Cara Menentukan Nilai n pada Notasi Faktorial

Contoh 2 – Banyak bilangan ratusan ganjil

Banyak bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah ….
A. 60
B. 90
C. 108
D. 120
E. 216

Pembahasan:
Banyak bilangan ratusan ganjil memiliki tiga digit angka yang bisa berulang. Angka-angkan yang dapat menempati digit adalah 0, 1, 2, 3, 4, dan 5.

Ketentuan angka-angka yang bisa menempati digit ke-1, 2, dan 3:

Digit ke-Angka yang dapat menempati
1semua angka bisa menempati kecuali 0 karena saat nol berada pada digit pertama maka nilai bilangan bukan lagi menjadi ratusan namun puluhan → n1 = 5
2semua angka bisa menempati → n2 = 6
31, 3, dan 5 agar nilai bilangan menjadi ganjil → n3 = 3

Jadi, banyak bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah n1 · n2 · n3 = 5 · 6 · 3 = 90.

Jawaban: B

Contoh 3 – Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf

Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” adalah ….
A. 1.680
B. 5.040
C. 8.400
D. 10.080
E. 20.160

Pembahasan:
Kata “KALKULUS” terdiri dari 8 huruf (n = 8) yang terdiri dari 2 huruf K (k1 = 2), 1 huruf A (k2 = 1), 2 huruf L (k3 = 2), 2 huruf U (k4 = 2) dan 1 huruf S (k5 = 1).

Banyak susunan berbeda dihitung dengan rumus permutasi k1, k2, k3, k4, dan k4 unsur sama seperti berikut.

8P2, 1, 2, 2, 1
  =
8! 2! · 1! · 2! · 2! · 1!

=
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2! 2! · 1! · 2! · 2! · 1!

=
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 2 · 2
  =
20.160 4
  = 5.040


Jadi, banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” adalah 5.0440

Jawaban: B

Contoh 4 – Banyak susunan duduk melingkar

Banyak cara 7 orang akan duduk secara melingkar jika 4 orang harus selalu duduk berdampingan adalah ….
A. 210
B. 144
C. 72
D. 24
E. 6

Pembahasan:
Dari soal diketahui banyak obyek ada 7 orang yang duduk secara melingkar dengan 4 orang harus selalu duduk berdampingan. Cara duduk melingkar untuk 4 orang dianggap 1 sehingga menjadi permutasi (7 − 4) + 1 = 4 obyek.

Cara empat orang yang selalu duduk perdampingan adalah 4! dan permutasi 4 obyek adalah P(siklis, 4) = 3!

Jadi, banyak cara 7 orang akan duduk secara melingkar jika 4 orang harus selalu duduk berdampingan = 4! · P(siklis, 4) = 4! · 3! = 4 · 3 · 2 · 1 · 3 · 2 · 1 = 144 cara.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan rumus permutasi berserta cara menghitungnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Soal Tes Potensi Skolastik Duduk Melingkar

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *