UTBK 2023/Penalaran Matematika
Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran (seperti pada gambar).
![Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut](https://idschool.net/wp-content/uploads/2023/11/Dua-buah-kapal-tanker-mengalami-kebocoran-sehingga-menumpahkan-minyak-di-tengah-laut.webp)
Masing-masing kapal berada di titik pusat tumpahan minyak dengan jarak kedua pusat tumpahan minyak adalah 468 meter. Radius tumpahan pertama adalah 18 meter dan menjadi 2 kali lipat setiap 2 jam, sedangkan radius tumpahan kedua adalah 12 meter dan menjadi 3 kali lipat setiap 2 jam. Volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya.
Pertanyaan:
Soal 1
Radius kedua tumpahan akan sama setelah … jam.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawab: (B)
Dari soal diketahui dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga terdapat tumpahan minyak
- Kapal tanker I:
- Radius tumpahan pertama: r1 = 18 meter
- Rasio radius = 2 kali lipat per 2 jam
- Pola radius: 18, 18×2, 18×2×2,18×2×2×2, …, Un = 18 × 2n – 1 (n = bilangan asli)
- Kapal tanker II:
- Radius tumpahan kedua: r2 = 12 meter
- Rasio radius = 3 kali lipat per 2 jam
- Pola radius: 12, 12×3, 18×3×3,18×3×3×3, …, Un = 12 × 3n – 1 (n = bilangan asli)
Rumus Un = 18 × 2n – 1 dan Un = 12 × 3n – 1 menyatakan panjang radius tumpahan minyak. Untuk mengetahui kapan radius kedua tumpahan sama dapat dilakukan dengan membentuk persamaan kedua rumus Un seperti berikut.
18 × 2n – 1 = 12 × 3n – 1
n – 1 = 1
n = 1 + 1 = 2
Pola radius di atas berlaku untuk setiap selang waktu 2 jam. Untuk n = 1 adalah waktu mula-mula, saat terjadi tumpahan minyak (saat t = 0 jam). Untuk n = 2 merupakan waktu setelah 2 jam, n = 3 untuk waktu 4 jam, dan seterusnya.
Hubungan antaran n dan waktu:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
waktu | 0 | 2 | 4 | 6 | … |
Perhatikan bahwa bentuk pola bilangan waktu merupakan barisan Aritmatika. Rumus suku ke-n yang sesuai untuk waktu adalah 0 + (n – 1) × 2 = 2(n –1) jam
Sehingga, saat n = 2
waktu = 2 × (2 –1) jam = 2 jam
Jadi, radius kedua tumpahan akan sama setelah 2 jam.
Soal 2
Kedua tumpahan akan bersinggungan setelah … jam.
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 12
Jawab: (C)
Kedua tumpahan akan bersinggungan saat jumlah kedua jari-jari tumpahan minyak sama dengan jarak kedua pusat lingkaran. Diketahui jarak kedua pusat lingkaran dari tumpahan minyak adalah 468 meter.
Sehingga,
r1 + r2 = 468
18 × 2n – 1 + 12 × 3n – 1 = 468
2×32×2n – 1 + 22×3×3n – 1 = 468
32×2n + 22×3n = 22×32×13
2n – 2 + 3n – 2 = 13
2n – 2 + 3n – 2 = 22 + 32
Dengan menyamakan eksponen bilangan dapat diperoleh n – 2 = 2. Maka n = 2 + 2 = 4.
Sehingga,
waktu = (n –1) × 2 jam
waktu = (4 –1) × 2 jam = 6 jam
Jadi, kedua tumpahan akan bersinggungan setelah 6 jam (C).
Soal 3
Setelah beberapa jam tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai 1/8 kali dari ketebalan sebelumnya?
(A) 1,5
(B) 2
(C) 3
(D) 4,5
(E) 6
Jawab: (C)
Diketahui bahwa volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya. Misalkan awalnya ketebalan minyak yang tumpah adalah h.
Volume tumpahan minyak dari tanker pertama:
V = π × r2 × h
V = π × 182 × h
Setelah beberapa waktu ketebalan minyak menjadi 1/8h. Kapan waktunya dapat dicari tahu dengan cara berikut.
Volume minyak = π×182×h
π×(18×2n – 1)2 × 1/8h = π×182×h
π×182×22(n – 1) × 1/8h = π×182×h
1/8 × 22(n – 1) × π×182×h = π×182×h
1/8×22(n – 1) = 1
22(n – 1) = 8
22(n – 1) = 23
Sehingga,
2(n – 1) = 3
Waktu = (n – 1) × 2 jam
Jadi, tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai 1/8 kali dari ketebalan sebelumnya setelah 3 jam (C).
ka yg no 3 kenapa yang dipakai (n-1)?
Pakaj n-1 untuk menyesuaikan pola perubahan radiusnya.
.
Untuk n = 1 menunjuk persmaan 18×2^0 = 18 (jari-jari awal)
.
Jari-jari mulai berubah saat n = 2, yaitu 18×2^1 = 36.
Saya pikir untuk model eksponennya seharusnya x/2.
Jika modelnya n-1, untuk jam ke-4
Rasionya menjadi berpangkat 3, sedangkan seharusnya berpangkat 2 karena setiap 2 jam
Pangkat rasionya bertambah 1