UTBK 2023/Penalaran Matematika
Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran (seperti pada gambar).

Masing-masing kapal berada di titik pusat tumpahan minyak dengan jarak kedua pusat tumpahan minyak adalah 468 meter. Radius tumpahan pertama adalah 18 meter dan menjadi 2 kali lipat setiap 2 jam, sedangkan radius tumpahan kedua adalah 12 meter dan menjadi 3 kali lipat setiap 2 jam. Volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya.

Pertanyaan:

• Soal 1
• Soal 2
• Soal 3

Soal 1

Radius kedua tumpahan akan sama setelah … jam.

(A)  1

(B)  2

(C)  3

(D)  4

(E)   5

Jawab: (B)

Dari soal diketahui dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga terdapat tumpahan minyak

• Kapal tanker I:
  • Radius tumpahan pertama: r₁ = 18 meter
  • Rasio radius = 2 kali lipat per 2 jam
  • Pola radius: 18, 18×2, 18×2×2,18×2×2×2, …, U_n = 18 × 2^{n – 1} (n = bilangan asli)

• Kapal tanker II:
  • Radius tumpahan kedua: r₂ = 12 meter
  • Rasio radius = 3 kali lipat per 2 jam
  • Pola radius: 12, 12×3, 18×3×3,18×3×3×3, …, U_n = 12 × 3^{n – 1} (n = bilangan asli)

Rumus U_n = 18 × 2^{n – 1} dan U_n = 12 × 3^{n – 1} menyatakan panjang radius tumpahan minyak. Untuk mengetahui kapan radius kedua tumpahan sama dapat dilakukan dengan membentuk persamaan kedua rumus Un seperti berikut.

18 × 2^{n – 1} = 12 × 3^{n – 1}

n – 1 = 1

n = 1 + 1 = 2

Pola radius di atas berlaku untuk setiap selang waktu 2 jam. Untuk n = 1 adalah waktu mula-mula, saat terjadi tumpahan minyak (saat t = 0 jam). Untuk n = 2 merupakan waktu setelah 2 jam, n = 3 untuk waktu 4 jam, dan seterusnya.

Hubungan antaran n dan waktu:

Perhatikan bahwa bentuk pola bilangan waktu merupakan barisan Aritmatika. Rumus suku ke-n yang sesuai untuk waktu adalah 0 + (n – 1) × 2 = 2(n –1) jam

Sehingga, saat n = 2

waktu = 2 × (2 –1) jam = 2 jam

Jadi, radius kedua tumpahan akan sama setelah 2 jam.

Soal 2

Kedua tumpahan akan bersinggungan setelah … jam.

(A)  3

(B)  4

(C)  6

(D)  8

(E)  12

Jawab: (C)

Kedua tumpahan akan bersinggungan saat jumlah kedua jari-jari tumpahan minyak sama dengan jarak kedua pusat lingkaran. Diketahui jarak kedua pusat lingkaran dari tumpahan minyak adalah 468 meter.

Sehingga,

r₁ + r₂ = 468

18 × 2^{n – 1} + 12 × 3^{n – 1} = 468

2×3²×2^{n – 1} + 2²×3×3^{n – 1} = 468

3²×2ⁿ + 2²×3ⁿ = 2²×3²×13

2^{n – 2} + 3^{n – 2} = 13

2^{n – 2} + 3^{n – 2} = 2² + 3²

Dengan menyamakan eksponen bilangan dapat diperoleh n – 2 = 2. Maka n = 2 + 2 = 4.

Sehingga,

waktu = (n –1) × 2 jam

waktu = (4 –1) × 2 jam = 6 jam

Jadi, kedua tumpahan akan bersinggungan setelah 6 jam (C).

Soal 3

Setelah beberapa jam tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai ¹/₈ kali dari ketebalan sebelumnya?

(A)  1,5

(B)  2

(C)  3

(D)  4,5

(E)  6

Jawab: (C)

Diketahui bahwa volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya. Misalkan awalnya ketebalan minyak yang tumpah adalah h.

Volume tumpahan minyak dari tanker pertama:

V = π × r² × h

V = π × 18² × h

Setelah beberapa waktu ketebalan minyak menjadi ¹/₈h. Kapan waktunya dapat dicari tahu dengan cara berikut.

Volume minyak = π×18²×h

π×(18×2^{n – 1})² × ¹/₈h = π×18²×h

π×18²×2^{2(n – 1)} × ¹/₈h = π×18²×h

¹/₈ × 2^{2(n – 1)} × π×18²×h = π×18²×h

¹/₈×2^{2(n – 1)} = 1

2^{2(n – 1)} = 8

2^{2(n – 1)} = 2³

Sehingga,

2(n – 1) = 3

Waktu = (n – 1) × 2 jam

Jadi, tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai ¹/₈ kali dari ketebalan sebelumnya setelah 3 jam (C).