Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di …

Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran (seperti pada gambar).

Masing-masing kapal berada di titik pusat tumpahan minyak dengan jarak kedua pusat tumpahan minyak adalah 468 meter. Radius tumpahan pertama adalah 18 meter dan bertambah 2 kali lipat setiap 2 jam, sedangkan radius tumpahan kedua adalah 12 meter dan bertambah 3 kali lipat setiap 2 jam. Volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya.

Soal 1

Radius kedua tumpahan akan sama setelah … jam.
(A)  1
(B)  2
(C)  3
(D)  4
(E)  5

Jawab: (B)

Dari soal diketahui dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran dengan ketentuan seperti berikut.

Tumpahan pertama:

• Radius tumpahan pertama: r₁ = 18 meter
• Penambahan radius = 2 kali lipat setiap 2 jam
• Fungsi penambahan radius = 18×2ⁿ
  Di mana:
  n = 1, 2, 3, …. (pola radius ke-)
  waktu: t = 2n

Tumpahan kedua:

• Radius tumpahan kedua: r₂ = 12 meter
• Penambahan radisu = 3 kali lipat setiap 2 jam
• Fungsi penambahan radius = 12×3ⁿ
  Di mana:
  n = 1, 2, 3, …. (pola radius ke-)
  waktu: t = 2n

Misalkan n adalah banyak kelipatan jari-jari yang terjadi setelah beberapa waktu. Untuk radius kedua tumpahan akan sama memenuhi persamaan berikut.

r₁ = r₂
18×2ⁿ = 12×3ⁿ

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai n = 1. Jadi, radius kedua tumpahan akan sama setelah t = 2n = 2(1) = 2 jam (B).

Soal 2

Kedua tumpahan akan bersinggungan setelah … jam.
(A)  3
(B)  4
(C)  6
(D)  8
(E)  12

Jawab: (C)

Kedua tumpahan akan bersinggungan saat jumlah kedua jari-jari tumpahan minyak sama dengan jarak kedua pusat lingkaran. Diketahui bahwa jarak kedua pusat lingkaran dari tumpahan minyak adalah 468 meter.

Sehingga,
r₁ + r₂ = 468
18×2ⁿ + 12×3ⁿ = 468
3×2ⁿ + 2×3ⁿ = 78

Untuk menentukan nilai n yang memenuhi persamaan 3×2ⁿ + 2×3ⁿ = 78 dapat dilakukan dengan cara berikut.

• n = 1 → 3×2¹ + 2×3¹ ≠ 78
• n = 2 → 3×2² + 2×3² = 12 + 18 ≠ 78
• n = 3 → 3×2³ + 2×3³ = 24 + 54 = 78

Diperoleh nilai n yang memenuhi persamaan 3×2ⁿ + 2×3ⁿ = 78 adalah n = 3. Jadi, kedua tumpahan akan bersinggungan setelah t = 2n = 2×2 = 6 jam (C).

Soal 3

Setelah beberapa jam tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai ¹/₈ kali dari ketebalan sebelumnya?
(A)  1,5
(B)  2
(C)  3
(D)  4,5
(E)  6

Jawab: (C)

Diketahui bahwa volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya. Misalkan awalnya ketebalan minyak yang tumpah adalah h maka volume minyak adalah V = πr²h.

Mula-mula, panjang radius dari tumpahan minyak adalah 18 meter. Sehingga volume minyak sama dengan V = πr²h = π×18²×h = 324πh.

Setelah beberapa waktu ketebalan minyak menjadi ¹/₈h. Dengan volume yang tetap, radius tumpahan minyak akan bertambah. Perubahan panjang jari-jari dari minyak yang tumpah dapat dihitung dengan cara berikut.

Menghitung radius saat ketebalan minyak menjadi ¹/₈h:
V’ = V
π×(18×2ⁿ)²×(¹/₈h) = 324πh
¹/₈ × 2²ⁿ × 324πh = 324πh
2²ⁿ = 8 → 2²ⁿ = 2³
2n = 3 → n = ³/₂

Jadi, tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai ¹/₈ kali dari ketebalan sebelumnya setelah t = 2n = 2׳/₂ = 3 jam (C).