UTBK 2023/PM
Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran (seperti pada gambar).

Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut

Masing-masing kapal berada di titik pusat tumpahan minyak dengan jarak kedua pusat tumpahan minyak adalah 468 meter. Radius tumpahan pertama adalah 18 meter dan menjadi 2 kali lipat setiap 2 jam, sedangkan radius tumpahan kedua adalah 12 meter dan menjadi 3 kali lipat setiap 2 jam. Volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya.

Soal 1

Radius kedua tumpahan akan sama setelah … jam.

(A)  1

(B)  2

(C)  3

(D)  4

(E)   5

Jawab: (B)

Dari soal diketahui dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran dengan ketentuan seperti berikut.

  • Tumpahan pertama:
    • Radius tumpahan pertama: r1 = 18 meter
    • Rasio radius = 2 kali lipat per 2 jam

Pola radius tumpahan minyak dari tanker I per dua jam adalah 18, 18×2, 18×2×2,18×2×2×2, …, Un = 18 × 2n – 1 dengan n = bilangan asli.

  • Tumpahan kedua:
    • Radius tumpahan kedua: r2 = 12 meter
    • Rasio radius = 3 kali lipat per 2 jam

Pola radius tumpahan minyak dari tanker II per dua jam adalah 12, 12×3, 18×3×3,18×3×3×3, …, Un = 12 × 3n – 1 dengan n = bilangan asli.

Rumus Un = 18 × 2n – 1 dan Un = 12 × 3n – 1 menyatakan panjang radius tumpahan minyak dari waktu ke waktu. Untuk mengetahui kapan radius kedua tumpahan sama dapat dilakukan dengan membentuk persamaan kedua rumus Un seperti berikut.

18 × 2n – 1 = Un = 12 × 3n – 1

2n – 13n – 1
=
1218

(
23
)n – 1 = (
23
)1


n – 1 = 1

n = 1 + 1 = 2

Pola radius di atas berlaku untuk setiap selang waktu 2 jam. Saat n = 1 merupakan waktu mula-mula saat terjadi tumpahan minyak yaitu saat t = 0 jam. Untuk n = 2 merupakan waktu setelah 2 jam, n = 3 untuk waktu 4 jam, dan seterusnya.

Hubungan antaran n dan waktu:

n1234
waktu 0245

Perhatikan bahwa bentuk pola bilangan waktu merupakan barisan Aritmatika. Rumus suku ke-n yang sesuai untuk waktu adalah

waktu = 0 + (n –1)×2

waktu = (n –1) × 2 jam

Sehingga, waktu saat n = 2 adalah,

waktu = (2 –1) × 2 jam

waktu = 1 × 2 jam = 2 jam

Jadi, radius kedua tumpahan akan sama setelah t = 2n = 2(1) = 2 jam (B).

Soal 2

Kedua tumpahan akan bersinggungan setelah … jam.

(A)  3

(B)  4

(C)  6

(D)  8

(E)  12

Jawab: (C)

Kedua tumpahan akan bersinggungan saat jumlah kedua jari-jari tumpahan minyak sama dengan jarak kedua pusat lingkaran. Diketahui jarak kedua pusat lingkaran dari tumpahan minyak adalah 468 meter.

Sehingga,

r1 + r2 = 468

18 × 2n – 1 + 12 × 3n – 1 = 468

2 × 32 × 2n – 1 + 22 × 3 × 3n – 1 = 468

32 × 2n + 22 × 3n = 22 × 32 × 13

32 × 2n 22 × 32
+
22 × 3n 22 × 32
=
22 × 32 × 13 22 × 32

2n 22
+
3n 32
= 13


2n – 2 + 3n – 2 = 13

2n – 2 + 3n – 2 = 22 + 32

Dengan menyamakan eksponen atau pangkat bilangan dapat diperoleh,

n – 2 = 2

n = 2 + 2 = 4

Sehingga,

waktu = (n –1) × 2 jam

waktu = (4 –1) × 2 jam

waktu = 3 × 2 jam = 6 jam

Jadi, kedua tumpahan akan bersinggungan setelah 6 jam (C).

Soal 3

Setelah beberapa jam tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai 1/8 kali dari ketebalan sebelumnya?

(A)  1,5

(B)  2

(C)  3

(D)  4,5

(E)  6

Jawab: (C)

Diketahui bahwa volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya. Misalkan awalnya ketebalan minyak yang tumpah adalah h.

Volume tumpahan minyak dari tanker pertama:

V = π × r2 × h

V = π × 182 × h

Setelah beberapa waktu ketebalan minyak menjadi 1/8h. Kapan waktunya dapat dicari tahu dengan cara berikut.

Volume minyak = π × 182 × h

π × (18 × 2n – 1)2 × 1/8h = π × 182 × h

π × 182 × 22(n – 1) × 1/8h = π × 182 × h

1/8 × 22(n – 1) × π × 182 × h = π × 182 × h

1/8 × 22(n – 1) = 1

22(n – 1) = 8

22(n – 1) = 23

2(n – 1) = 3

n – 1 =
3 2


Sehingga,

waktu = (n – 1) × 2 jam

waktu =
3 2
× 2 jam = 3 jam


Jadi, tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai 1/8 kali dari ketebalan sebelumnya setelah 3 jam (C).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

3 thoughts on “Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di …”

    1. Pakaj n-1 untuk menyesuaikan pola perubahan radiusnya.
      .
      Untuk n = 1 menunjuk persmaan 18×2^0 = 18 (jari-jari awal)
      .
      Jari-jari mulai berubah saat n = 2, yaitu 18×2^1 = 36.

      1. Saya pikir untuk model eksponennya seharusnya x/2.
        Jika modelnya n-1, untuk jam ke-4
        Rasionya menjadi berpangkat 3, sedangkan seharusnya berpangkat 2 karena setiap 2 jam
        Pangkat rasionya bertambah 1