Dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran (seperti pada gambar).

Masing-masing kapal berada di titik pusat tumpahan minyak dengan jarak kedua pusat tumpahan minyak adalah 468 meter. Radius tumpahan pertama adalah 18 meter dan bertambah 2 kali lipat setiap 2 jam, sedangkan radius tumpahan kedua adalah 12 meter dan bertambah 3 kali lipat setiap 2 jam. Volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya.
Soal 1
Radius kedua tumpahan akan sama setelah … jam.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawab: (B)
Dari soal diketahui dua buah kapal tanker mengalami kebocoran sehingga menumpahkan minyak di tengah laut dengan tumpahan minyak membentuk dua lingkaran dengan ketentuan seperti berikut.
Tumpahan pertama:
- Radius tumpahan pertama: r1 = 18 meter
- Penambahan radius = 2 kali lipat setiap 2 jam
- Fungsi penambahan radius = 18×2n
Di mana:
n = 1, 2, 3, …. (pola radius ke-)
waktu: t = 2n
Tumpahan kedua:
- Radius tumpahan kedua: r2 = 12 meter
- Penambahan radisu = 3 kali lipat setiap 2 jam
- Fungsi penambahan radius = 12×3n
Di mana:
n = 1, 2, 3, …. (pola radius ke-)
waktu: t = 2n
Misalkan n adalah banyak kelipatan jari-jari yang terjadi setelah beberapa waktu. Untuk radius kedua tumpahan akan sama memenuhi persamaan berikut.
r1 = r2
18×2n = 12×3n
Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai n = 1. Jadi, radius kedua tumpahan akan sama setelah t = 2n = 2(1) = 2 jam (B).
Soal 2
Kedua tumpahan akan bersinggungan setelah … jam.
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 12
Jawab: (C)
Kedua tumpahan akan bersinggungan saat jumlah kedua jari-jari tumpahan minyak sama dengan jarak kedua pusat lingkaran. Diketahui bahwa jarak kedua pusat lingkaran dari tumpahan minyak adalah 468 meter.
Sehingga,
r1 + r2 = 468
18×2n + 12×3n = 468
3×2n + 2×3n = 78
Untuk menentukan nilai n yang memenuhi persamaan 3×2n + 2×3n = 78 dapat dilakukan dengan cara berikut.
- n = 1 → 3×21 + 2×31 ≠ 78
- n = 2 → 3×22 + 2×32 = 12 + 18 ≠ 78
- n = 3 → 3×23 + 2×33 = 24 + 54 = 78
Diperoleh nilai n yang memenuhi persamaan 3×2n + 2×3n = 78 adalah n = 3. Jadi, kedua tumpahan akan bersinggungan setelah t = 2n = 2×2 = 6 jam (C).
Soal 3
Setelah beberapa jam tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai 1/8 kali dari ketebalan sebelumnya?
(A) 1,5
(B) 2
(C) 3
(D) 4,5
(E) 6
Jawab: (C)
Diketahui bahwa volume minyak yang tumpah selalu sama setiap jamnya. Misalkan awalnya ketebalan minyak yang tumpah adalah h maka volume minyak adalah V = πr2h.
Mula-mula, panjang radius dari tumpahan minyak adalah 18 meter. Sehingga volume minyak sama dengan V = πr2h = π×182×h = 324πh.
Setelah beberapa waktu ketebalan minyak menjadi 1/8h. Dengan volume yang tetap, radius tumpahan minyak akan bertambah. Perubahan panjang jari-jari dari minyak yang tumpah dapat dihitung dengan cara berikut.
Menghitung radius saat ketebalan minyak menjadi 1/8h:
V’ = V
π×(18×2n)2×(1/8h) = 324πh
1/8 × 22n × 324πh = 324πh
22n = 8 → 22n = 23
2n = 3 → n = 3/2
Jadi, tumpahan minyak dari kapal tanker pertama akan mempunyai 1/8 kali dari ketebalan sebelumnya setelah t = 2n = 2×3/2 = 3 jam (C).