UTBK 2023/PM
Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya dan radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya.
Diketahui P1 adalah pusat alas tumpukan pasir A dan P2 adalah pusat alas tumpukan pasir B. Jarak P1 dan P2 adalah 10 cm.
![Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut](https://idschool.net/wp-content/uploads/2023/10/Dua-buah-pasir-A-dan-B-dituangkan-secara-terpisah-membentuk-kerucut.webp)
Daftar isi:
Soal 1
Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r1 : r2 = ….
(A) 1 : 3√2
(B) 3√2 : 1
(C) 1 : √2
(D) √2 : 1
(E) 1 : √3
Jawab: (A)
Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r1 dan tinggi kerucut A adalah h1. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r2 dan tinggi kerucut B adalah h2.
Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.
- Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya: r1 = h1
- Radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya: r2 = 2h2, sehingga h2 = 1/2r2
Rumus volume kerucut:
Keterangan:
V = volume kerucut
π = 22/7 atau π = 3,14
r = jari-jari alas kerucut
t = tinggi kerucut
Diketahui bahwa kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama. Dari keterangan tersebut, untuk setiap waktu t yang sama maka besar volume pasir A sama dengan volume pasir B.
Sehingga pada waktu t yang sama dapat membentuk persamaan berikut.
VA = VB
1/3 × π × r12 × h1 = 1/3 × π × r22 × h2 1/3 × π × r12 × r1 = 1/3 × π × r22 × (1/2r2)
r13 = 1/2 × r23
Dengan demikian, jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r1 : r2 = 1 : 3√2
Soal 2
Jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h1 : h2 = ….
(A) 23√2 : 1
(B) 3√4 : 1
(C) √2 : 2
(D) 2 : 3√4
(E) 23√2 : 1
Jawab: (B)
Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r1 dan tinggi kerucut A adalah h1. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r2 dan tinggi kerucut B adalah h2.
Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.
- Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya: r1 = h1
- Radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya: r2 = 2h2, sehingga h2 = 1/2r2
Menentukan perbandingan tinggi kedua kerucut:
Substitusi perbadingan r1 : r2 = 1 : 3√2 dari hasil perhitungan soal nomor 1.
Kalikan pecahan dengan akar sekawan dari penyebut untuk menyederhanakan bentuk akarnya. Seperti cara berikut.
Dengan demikian, jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h1 : h2 = 3√4 : 1 (B).
Soal 3
Kedua jenis pasir terus dituangkan dengan laju yang sama hingga kedua dasarnya bertemu di satu titik. Jarak antara P1 dengan titik temu adalah ….
Jawab: (D)
Dari perhitungan yang dilakukan pada pembahasan soal 1 dapat diperoleh perbandingan jari-jari r1 : r2 = 1 : 3√2. Sehingga dapat disimpulkan bahwa r2 = 3√2r1.
Keterangan pada soal menyatakan jarak antara P1 dan P2 sama dengan 10 cm. Saat kedua alas kerucut bertemu maka memenuhi persamaan r1 + r2 = 10. Substitusi persamaan r2 = 3√2r1 ke persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai r1 seperti yang dilakukan pada langkah penyelesaian berikut.
Menentukan jarak antara P1 dengan titik temu (r1):
r1 + r2 = 10
r1 + 3√2r1 = 10
Penjumlahan sama-sama memiliki faktor r1 sehingga dapat dibentuk dalam bentuk persamaan berikut.
r1(1 + 3√2) = 10
Jadi, jarak antara P1 dengan titik temu adalah r1 = 10/1 + 3√2 cm.
Soal 4
Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama dan diketahui h2 = 1 m (tinggi kerucut tumpukan pasir kedua), jarak antara kedua puncak tumpukan pasir adalah ….
(A) √109
(B) √101
(C) √(101 − 23√4 + 3√16)
(D) √(101 + 23√4 + 3√16)
(E) √(101 − 23√4 + 3√4)
Jawab: (C)
Diketahui nilai h2 = 1 m dan dipeorleh hasil perhitungan soal nomor 2 yaitu perbandingan h1 : h2 = 3√4 : 1. Sehingga h1 dapat dicari tahu dengan cara berikut.
Pada kerucut A, radius alas kerucut selalu sama dengan tinggi kerucut sehingga r1 = h1 = 3√4 cm.
Jarak antara kedua puncak tumpukan pasir sama dengan panjang garis AB pada gambar di bawah.
![Jarak antara kedua puncak tumpukan pasir adalah AB =](https://idschool.net/wp-content/uploads/2023/12/Jarak-antara-kedua-puncak-tumpukan-pasir-adalah.webp)
Panjang AB dapat dihitung menggunakan Teorema Pythgoras seperti yang dilakukan pada cara berikut.
Menghitung panjang AB:
AB2 = 102 + (3√4 − 1)2
= 100 + (3√16 − 23√4 + 1)
= √(101 − 23√4 + 3√16)
Jadi, jarak antara kedua puncak tumpukan pasir sama dengan (C) AB = √(101 − 23√4 + 3√16).