UTBK 2023/PM
Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya dan radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya.

Diketahui P1 adalah pusat alas tumpukan pasir A dan P2 adalah pusat alas tumpukan pasir B. Jarak P1 dan P2 adalah 10 cm.

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut

Soal 1

Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r1 : r2 = ….
(A)   1 : 3√2
(B)   3√2 : 1
(C)   1 : √2
(D)   √2 : 1
(E)   1 : √3

Jawab: (A)

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r1 dan tinggi kerucut A adalah h1. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r2 dan tinggi kerucut B adalah h2.

Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.

  • Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya: r1 = h1
  • Radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya: r2 = 2h2, sehingga h2 = 1/2r2

Rumus volume kerucut:

V =
1 3
× π × r2 × t

  • Keterangan:
    • V = volume kerucut
    • π = 22/7 atau π = 3,14
    • r = jari-jari alas kerucut
    • t = tinggi kerucut

Diketahui bahwa kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama. Dari keterangan tersebut, untuk setiap waktu t yang sama maka besar volume pasir A sama dengan volume pasir B.

Sehingga pada waktu t yang sama dapat membentuk persamaan berikut.

VA = VB

1/3 × π × r12 × h1 = 1/3 × π × r22 × h2

1/3 × π × r12 × r1 = 1/3 × π × r22 × (1/2r2)

r13 = 1/2 × r23

r13r23
=
1 2

r1 r2
=
3√1 3√2
=
1 3√2


Dengan demikian, jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r1 : r2 = 1 : 3√2

Soal 2

Jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h1 : h2 = ….

(A) 23√2 : 1

(B) 3√4 : 1

(C) √2 : 2

(D) 2 : 3√4

(E) 23√2 : 1

Jawab: (B)

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r1 dan tinggi kerucut A adalah h1. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r2 dan tinggi kerucut B adalah h2.

Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.

  • Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya: r1 = h1
  • Radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya: r2 = 2h2, sehingga h2 = 1/2r2

Menentukan perbandingan tinggi kedua kerucut:

h1h2
=
r11/2r2
=
2 r1r2

h1h2
=
2 1
×
r1 r2

h1h2
=
2 1
×
1 3√2
=
2 3√2

h1h2
=
2 3√2
×
3√2 3√2

h1h2
=
23√2 3√4
=
3√(23×16) 3√4
=
3√16 3√4
=
3√4 1


Dengan demikian, jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h1 : h2 = 3√4 : 1 (B).

Soal 3

Kedua jenis pasir terus dituangkan dengan laju yang sama hingga kedua dasarnya bertemu di satu titik. Jarak antara P1 dengan titik temu adalah ….

(A)  
101 + √2
(B)  
√2 − 110
(C)  
1 + 3√210
(D)  
10 1 + 3√2
(E)  
10 √2 − 1

Jawab: (D)

Dari perhitungan yang dilakukan pada pembahasan soal 1 dapat diperoleh perbandingan jari-jari r1 : r2 = 1 : 3√2. Sehingga dapat disimpulkan bahwa r2 = 3√2r1.

Keterangan pada soal menyatakan bahwa jarak antara P1 dan P2 sama dengan 10 cm. Saat kedua alas kerucut bertemu maka memenuhi persamaan r1 + r2 = 10. Substitusi persamaan r2 = 3√2r1 ke persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai r1 seperti yang dilakukan pada langkah penyelesaian berikut.

Menentukan jarak antara P1 dengan titik temu (r1):

r1 + r2 = 10

r1 + 3√2r1 = 10

r1(1 + 3√2) = 10

r1 =
101 + 3√2


Jadi, jarak antara P1 dengan titik temu adalah r1 = 10/1 + 3√2 cm.

Soal 4

Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama dan diketahui h2 = 1 m (tinggi kerucut tumpukan pasir kedua), jarak antara kedua puncak tumpukan pasir adalah ….

(A) √109

(B) √101

(C) √(101 − 23√4 + 3√16)

(D) √(101 + 23√4 + 3√16)

(E) √(101 − 23√4 + 3√4)

Jawab: (C)

Diketahui nilai h2 = 1 m dan dipeorleh hasil perhitungan soal nomor 2 yaitu perbandingan h1 : h2 = 3√4 : 1. Sehingga h1 dapat dicari tahu dengan cara berikut.

h1h2
=
3√4 1
h1 1
=
3√4 1
→ h1 = 3√4 m


Pada kerucut A, radius alas kerucut selalu sama dengan tinggi kerucut sehingga r1 = h1 = 3√4 cm.

Jarak antara kedua puncak tumpukan pasir sama dengan panjang garis AB pada gambar di bawah.

Jarak antara kedua puncak tumpukan pasir adalah AB =

Panjang AB dapat dihitung menggunakan Teorema Pythgoras seperti yang dilakukan pada cara berikut.

Menghitung panjang AB:

AB2 = 102 + (3√4 − 1)2 

AB2 = 100 + (3√16 − 23√4 + 1)

AB2 = 100 + 3√16 − 23√4 + 1

AB2 = 101 − 23√4 + 3√16

AB = √(101 − 23√4 + 3√16)

Jadi, jarak antara kedua puncak tumpukan pasir sama dengan (C) AB = √(101 − 23√4 + 3√16).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.