Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Radius alas kerucut pasir…

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya dan radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya. Diketahui P₁ adalah pusat alas tumpukan pasir A dan P₂ adalah pusat alas tumpukan pasir B. Jarak P₁ dan P₂ adalah 10 cm.

Soal 1

Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r₁ : r₂ = ….
(A)   1 : ³√2
(B)   ³√2 : 1
(C)   1 : √2
(D)   √2 : 1
(E)   1 : √3

Jawab: (C)

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r₁ dan tinggi kerucut A adalah h₁. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r₂ dan tinggi kerucut B adalah h₂.

Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.

• Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya: r₁ = h₁
• Radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya: r₂ = 2h₂, sehingga h₂ = ¹/₂r₂
• Jarak antara P1 dan P2 = jarak pusat alas kedua keuruct: r₁ + r₂ = 10 cm

Rumus volume kerucut:

V = ¹/₃ × π × r² × t

Keterangan:
V = volume kerucut
π = ²²/₇ atau π = 3,14
r = jari-jari alas kerucut
t = tinggi kerucut

Diketahui bahwa kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama. Di mana persamaan laju volume sama dengan turunan pertama fungsi volume terhadap panjang jari-jari. Sehingga perlu dibentuk fungsi volume untuk kerucut A dan kerucut B.

Persamaan volume untuk kerucut A:
V_A(r₁) = ¹/₃ × π × (r₁)² × (r₁)
V_A(r₁) = ¹/₃ × π × r₁³

Persamaan volume untuk kerucut B:
V_B(r₂) = ¹/₃ × π × (r₂)² × (¹/₂r₂)
V_B(r₂) = ¹/₆ × π × r₂³

Menentukan perbandingan jari-jari kerucut:

3 × ¹/₃ × π × r₁³⁻¹ = 3 × ¹/₆ × π × r₂³⁻¹

r₁² = ¹/₂ × r₂²

r₁ : r₂ = 1 : √2

Dengan demikian, jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r₁ : r₂ = 1 : √2.

Soal 2

Jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h₁ : h₂ = ….
(A) 1 : ³√2
(B) ³√2 : 1
(C) 1 : √2
(D) √2 : 1
(E) 1 : √3

Jawab: (D)

Dua buah pasir A dan B dituangkan secara terpisah membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r₁ dan tinggi kerucut A adalah h₁. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r₂ dan tinggi kerucut B adalah h₂.

Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.

• Radius alas kerucut pasir A selalu sama dengan tingginya: r₁ = h₁
• Radius alas kerucut pasir B selalu dua kali tingginya: r₂ = 2h₂, sehingga h₂ = ¹/₂r₂

Menentukan perbandingan tinggi kedua kerucut:

Dengan demikian, jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h₁ : h₂ = √2 : 1 (D).

Soal 3

Kedua jenis pasir terus dituangkan dengan laju yang sama hingga kedua dasarnya bertemu di satu titik. Jarak antara P₁ dengan titik temu adalah ….

Jawab: (A)

Dari perhitungan yang dilakukan pada pembahasan soal 1 dapat diperoleh perbandingan jari-jari r₁ : r₂ = 1 : √2. Sehingga dapat disimpulkan bahwa r₂ = √2r₁.

Keterangan pada soal menyatakan bahwa jarak antara P₁ dan P₂ sama dengan 10 cm. Saat kedua alas kerucut bertemu maka memenuhi persamaan r₁ + r₂ = 10. Substitusi persamaan r₂ = √2r₁ ke persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai r₁ seperti yang dilakukan pada langkah penyelesaian berikut.

Menentukan jarak antara P₁ dengan titik temu (r₁):
r₁ + r₂ = 10

r₁ + √2r₁ = 10

r₁(1 + √2) = 10

Jadi, jarak antara P₁ dengan titik temu adalah r₁ = ¹⁰/_{1 + √2} cm.

Soal 4

Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama dan diketahui h₂ = 1 m (tinggi kerucut tumpukan pasir kedua), jarak antara kedua puncak tumpukan pasir adalah ….
(A) √109
(B) √101
(C) √(101 − 2³√4 + ³√16)
(D) √(101 + 2³√4 + ³√16)
(E) √(101 − 2³√4 + ³√4)

Jawab: (B)

Diketahui perbandingan h₁ : h₂ = √2 : 1 dan h₂ = 1 cm, sehingga h₁ dapat dihitung dengan perbandingan senilai seperti berikut.

h₁ = √2 cm

Pada kerucut A, radius alas kerucut selalu sama dengan tinggi kerucut sehingga r₁ = h₁ = √2 cm.

Jarak antara kedua puncak tumpukan pasir sama dengan panjang garis AB pada gambar di bawah yang panjangnya dapat dihitung menggunakan Teorema Pythgoras.

Menghitung panjang AB:
AB² = 10² + (√2 − 1)² 
AB² = 100 + (2 − 2√2+ 1)
AB² = 100 + 3 − 2√2 = 103 − 2√2
AB = √(103 − 2√2) ≈ √101

Jadi, jarak antara kedua puncak tumpukan pasir adalah (B) √101.