Dua jenis pasir, yakni pasir A dan B dituangkan secara terpisah hingga membentuk kerucut.

Dua jenis pasir yakni pasir A dan B dituangkan secara terpisah hingga membentuk kerucut. Radius alas kerucut A sama dengan setengah tingginya, sedangkan radius pasir B sama dengan tiga kali tingginya.

P1 adalah pusat alas tumpukan pasir A dan P2 adalah pusat alas tumpukan pasir B. Jarak antara P1 dan P2 adalah 10 cm.

Soal 1

Jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r₁ : r₂ = ….
(A)   1 : ³√6
(B)   ³√6 : 1
(C)   1 : √6
(D)   √6 : 1
(E)   1 : √3

Jawab: (C)

Dua jenis pasir yakni pasir A dan B dituangkan secara terpisah hingga membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r₁ dan tinggi kerucut A adalah h₁. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r₂ dan tinggi kerucut B adalah h₂.

Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.

• Radius alas kerucut A sama dengan setengah tingginya: r₁ = ¹/₂h₁ sehingga h₁ = 2r₁
• Radius alas kerucut B sama dengan tiga kali tingginya: r₂ = 3h₂ sehingga h₂ = ¹/₃r₂
• Jarak antara P1 dan P2 = jarak pusat alas kedua keuruct: r₁ + r₂ = 10 cm

Rumus volume kerucut:

V = ¹/₃ × π × r² × t

Keterangan:
V = volume kerucut
π = ²²/₇ atau π = 3,14
r = jari-jari alas kerucut
t = tinggi kerucut

Diketahui bahwa kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama. Di mana persamaan laju volume sama dengan turunan pertama fungsi volume terhadap panjang jari-jari. Sehingga perlu dibentuk fungsi volume untuk kerucut A dan kerucut B.

Persamaan volume untuk kerucut A:
V_A(r₁) = ¹/₃ × π × (r₁)² × (2r₁)
V_A(r₁) = ²/₃ × π × r₁³

Persamaan volume untuk kerucut B:
V_B(r₂) = ¹/₃ × π × (r₂)² × (¹/₃r₂)
V_B(r₂) = ¹/₉ × π × r₂³

Menentukan perbandingan jari-jari kerucut:

3 × ²/₃ × π × r₁³⁻¹ = 3 × ¹/₉ × π × r₂³⁻¹

2r₁² = ¹/₃r₂²

r₁ : r₂ = 1 : √6

Dengan demikian, jika kedua jenis pasir tersebut dituangkan dengan laju volume yang sama maka r₁ : r₂ = 1 : √6.

Soal 2

Jika kedua jenis pasir dituangkan dengan laju volume yang sama maka h₁ : h₂ = ….
(A)   1 : ³√6
(B)   ³√6 : 1
(C)   1 : √6
(D)   √6 : 1
(E)   1 : √3

Jawab: (D)

Dua jenis pasir yakni pasir A dan B dituangkan secara terpisah hingga membentuk kerucut. Misalkan jari-jari kerucut A adalah r₁ dan tinggi kerucut A adalah h₁. Sedangkan jari-jari kerucut B adalah r₂ dan tinggi kerucut B adalah h₂.

Dari keterangan pada soal dapat diketahui beberapa informasi seperti berikut.

• Radius alas kerucut A sama dengan setengah tingginya: r₁ = ¹/₂h₁ sehingga h₁ = 2r₁
• Radius alas kerucut B sama dengan tiga kali tingginya: r₂ = 3h₂ sehingga h₂ = ¹/₃r₂

• Jarak antara P₁ dan P₁ = jarak pusat alas kedua keuruct: r₁ + r₂ = 10 cm

Dari perhitungan sebelumnya dapat diketahui bahwa perbandingan jari-jari kedua kerucut adalah r₁ : r₂ = 1 : √6.

Menentukan perbandingan tinggi kedua kerucut:

Diperoleh perbandingan tinggi kedua kerucut adalah h₁ : h₂ = 6 : √6.Bentuk perbandingan tersebut dapat disederhanakan dengan mengalikan akar sekawannya sehingga dapat diperoleh bentuk perbandingan yang paling sederhana yaitu h₁ : h₂ = √6 : 1.