Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = √(2 – ax) + 5 dengan f(7) = 7.

Manakah dari tiga pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

(1)  a > 1

(2)  –1 merupakan anggota dari daerah asal f

(3)  Terdapat bilangan prima c sehingga f(c) = 6

Pilihan jawaban:

(A)   Semua pernyataan benar.

(B)  Pernyataan (2) dan (3) SAJA yang benar.

(C)  Pernyataan (2) SAJA yang benar.

(D)  Pernyataan (3) SAJA yang benar.

(E)  Tidak ada pernyataan yang benar.

Jawab: (C)

Pertama, akan diselidiki kebenaran dari pernyataan (1).

Nilai a pada fungsi f(x) = √(2 – ax) + 5 dapat diperoleh dengan cara substitusi nilai x = 7 dan f(7) = 7 pada persamaan f seperti yang dilakukan pada cara berikut.

f(7) = √(2 – a(7)) + 5 = 7

√(2 – 7a) = 7 – 5

2 – 7a = 4

Kesimpulan: pernyataan (1) a > 1 → SALAH, karena nilai a = –²/₇ < 0

Selanjutnya, selidiki pernyataan (2):

Daerah asal atau domain adalah himpunan yang dipetakan oleh suatu fungsi. Anggota himpunan dari daerah asal bergantung dari bentuk fungsinya.

Untuk fungsi f(x) = √(2 + ²/₇x) + 5 harus memenuhi syarat bilangan di dalam akar bernilai lebih dari nol karena tidak ada bilangan real yang memenuhi hasil dari akar bilangan negatif.

Sehingga, daerah asal untuk fungsi f(x) = √(2 + ²/₇x) + 5 harus memenuhi syarat 2 + ²/₇x ≥ 0. Daerah asal f adalah semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Menentukan nilai x:

2 + ²/₇x ≥ 0

²/₇x ≥ –2

x ≥ –2 × ⁷/₂ 

x ≥ –7  → x = {–7, –6, –5, …}

Ada bilangan –1 dalam himpunan x karena x ≥ –7, maka pernyataan (2) –1 merupakan anggota dari daerah asal f → BENAR.

Berikutnya, adalah menyelidiki kebenaran dari pernyataan (3).

Substitusi nilai x = c dan f(c) = 6 pada fungsi f untuk melihat apakah nilai c berupa bilangan prima. Jika c bukan merupakan bilangan prima maka terdapat bilangan prima c sehingga f(c) = 6. Jika c bukan merupakan bilangan prima maka tidak ada bilangan prima c sehingga f(c) = 6.

f(c) = √(2 + ²/₇c) + 5 = 6

√(2 + ²/₇c) = 1

2 + ²/₇c = 1  

²/₇c = –1  

c = –⁷/₂ (bukan bil. prima)

Kesimpulan: (3) Terdapat bilangan prima c sehingga f(c) = 6 → SALAH, karena tidak ada nilai c = bilangan prima yang memenuhi f(c) = 6.

Jadi, pernyataan yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas adalah Pernyataan (2) SAJA yang benar.