Garis y =-3x+1 diputar dengan R(O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x

Garis y = -3x+1 diputar dengan R (O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah ….
A. 3y = x + 1
B. 3y = x ‒ 1
C. 3y = ‒x + 1
D. 3y = ‒x ‒ 1
E. y = 3x ‒ 1

Jawab: D

Untuk menentukan persamaan bayangan garis y = -3x+1 diputar dengan R (O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama, dilakukan dengan melakukan transformasi geometri rotasi R (O, 90^o) yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x. Cara kedua, mencari persamaan bayangan garis y = -3x+1 diputar dengan R (O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x dengan matriks transformasi geometri.

Cara 1

Hasil transformasi titik P(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90^o adalah titik P'(x’, y’). Di mana x’ dan y’ memenuhi persamaan berikut,

• x’ = x·cos 90^o ‒ y·sin 90^o
  x’ = x·0 ‒ y·1
  x’ = 0 ‒ y
  x’ = ‒y

• y’ = x·sin 90^o + y·cos 90^o
  y’ = x·1 + y·0
  y’ = x + 0
  y’ = x

Kesimpulannya, hasil transformasi titik P(x, y) oleh rotasi pada pusat O(0, 0) sejauh 90^o adalah P'(x’, y’) = P'(‒y, x). Sehingga diperoleh dua persamaan berikut,

• x’ = ‒y ⇒ y = ‒x’
• y’ = x ⇒ x = y’

Substitusi persamaan (i) y = ‒x’ dan (ii) x = y’ ke persamaan garis y = -3x+1 untuk mendapatkan hasil transformasi garis tersebut oleh rotasi R (O, 90^o).

Menentukan hasil rotasi R(O, 90^o) untuk garis y = -3x+1:
y = -3x + 1
‒x’ = ‒3y’ + 1
x’ = 3y’ ‒ 1
x = 3y ‒ 1

Diperoleh hasil transformasi geometri garis y = ‒3x + 1 oleh rotasi pada pusat O(0,0) sejauh 90^o adalah x = 3y ‒ 1. Selanjutnya, garis x = 3y ‒ 1 akan dicerminkan terhadap sumbu x.

Hasil transformasi geometri untuk titik P(x, y) karena penceriman terhadap sumbu x adalah P'(x, ‒y). Misalkan titik hasil transformasi adalah P'(x’, y’), maka dapat dibentuk dua persamaan berikut.

• x’ = x ⇒ x = x’
• y ‘ = ‒y ⇒ y = ‒y’

Substitusi persamaan (iii) x = x’ dan (iv) y = ‒y’ ke persamaan x = 3y ‒ 1 untuk mendapatkan hasil transformasi geometri garis karena pecerminan terhadap sumbu x.

Menentukan hasil pencerminan garis x = 3y ‒ 1 terhadap sumbu x:
x = 3y ‒ 1
x’ = 3(‒y’) ‒ 1
x’ = ‒3y’ ‒ 1
3y’ = ‒x’ ‒ 1
3y = ‒x ‒ 1

Jadi, persamaan bayangan untuk garis y = -3x+1 diputar dengan R (O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x adalah 3y = ‒x ‒ 1.

Cara 2

Cara mencari persamaan bayangan garis y = -3x+1 diputar dengan R (O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x dengan matriks transformasi geometri dilakukan seperti langkah penyelesaian di bawah.

Diperoleh persamaan y = ‒x’ dan x = ‒y’, substitusi persamana x dan y ke persamaan garis y = -3x+1 untuk mendapatkan persamaan bayangan garis tersebut.

y = ‒3x + 1
‒x’ = ‒3(‒y’) + 1
‒x’ = 3y’ + 1
3y’ = ‒x’ ‒ 1

Diperoleh persamaan bayangan untuk garis y = -3x+1 diputar dengan R (O, 90^o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x adalah 3y = ‒x ‒ 1.