Transformasi geometri adalah perubahan kedudukan titik koordinat karena translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), atau dilatasi (skala). Hasil transformasi geometri dari titik P(a, b) karena translasi T(p, q) adalah P'(a+p, b+q). Hasil transformasi geometri dari titik P(a, b) karena refleksi terhadap sumbu x adalah P'(a, ‒b).
Diperoleh dua hasil transformasi yang berbeda karena cara mentransformasikan yang berbeda. Untuk hasil transfomasi titik P(a, b) karena rotasi atau dilatasi juga akan berbeda lagi.
Bagaimana cara mendapatkan hasil transformasi geometri suatu titik karena translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi? Rumus transformasi geometri yang diberikan di bawah akan memudahkan sobat idschool.
Daftar isi:
Baca Juga: Cara Menghitung Luas Daerah yang Diarsir
Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah transformasi geometri yang terjadi karena pergeseran. Perubahan obyek pada translasi dilakukan dengan cara menambahkan absis (x) dan ordinat (y) dengan nilai bilangan yang merupakan jarak translasi.
Tabel transformasi geometri translasi:
| Sebelum translasi | Setelah Translasi T(p, q) |
| P(a, b) | P'(a+p, b+q) |
Misalkan, translasi T1(p, q) dilakukan pada titik P(a, b). Hasil translasi titik P(a, b) dengan T1 adalah titik P'(a+p, b+q). Saat titik P'(a+p, b+q) ditranslasikan lagi oleh T2(r, s) akan menghasilkan P”(a+p+r, b+q+s).
Gambaran transformasi geometri yang terjadi pada titik P karena translasi T1 dan T2:
Sebagai contoh sederhana, translasi titik P(2, 5) oleh T(1, 4) akan merubah letak titik P menjadi titik P'(2+1. 5+4) = P'(3, 9).
Contoh Soal Translasi +Bahas
Hasil translasi titik P1(3, ‒2) oleh T1 dilanjutkan dengan T2(2, 1) menghasilkan P2(8, 7). Komponen translasi dari T1 yang sesuai adalah ….
A. T1(8, 3)
B. T1(3, 8)
C. T1(3, 5)
D. T1(1, 8)
E. T1(1, 5)
Pembahasan:
Misalkan Komponen translasi dari T1 adalah (a, b) maka T2 • T1 = (a + 4, b + 1). Selanjutnya perhatikan proses translasi berikut.
Mencari nilai a:
3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3
Mencari nilai b:
-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8
Jadi, nilai translasi dari T1 = (3, 8)
Jawaban: B
Baca Juga: Matriks Komposisi Transformasi Geometri
Refleksi (Pencerminan)
Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda seperti yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil bayangan refleksi pada bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya.
Ada tujuh jenis sumbu yang dapat menjadi cermin pada transformasi geometri refleksi yaitu sumbu-x, sumbu-y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k.
Tabel hasil transformasi geometri refleksi dari titik (a, b):
| Sumbu Pencerminan | Hasil Pencerminan |
| sumbu x | (a, ‒b) |
| sumbu y | (‒a, b) |
| garis y = x | (b, a) |
| garis y = ‒x | (‒b, ‒a) |
| titik O(0,0) | (‒a, ‒b) |
| garis x = h | (2h ‒ a, b) |
| garis y = k | (a, 2k ‒ b) |
Penjelasan proses pencerminan atau refleksi transformasi geometri pada berbagai sumbu refleksi terdapat pada bahasan berikut.
1) Pencerminan terhadap sumbu x
Hasil dari pencerminan terhadap sumbu x adalah nilai absis tetap dan ordinat menjadi lawannya. Letak titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu x akan menjadi A'(a, ‒b).
Gambaran transformasi geometri untuk pencerminan atau refleksi terhadap sumbu x:
Contoh: Hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap sumbu x adalah P'(1, ‒2).
2) Pencerminan Terhadap Sumbu y
Transformasi geometri refleksi terhadap sumbu y akan menghasilkan nilai absis menjadi lawannya dan ordinat tetap. Koordinat titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu y menjadi titik A'(‒a, b)
Contoh: hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap sumbu y adalah P'(‒1, 2).
3) Pencerminan terhadap Garis y = x
Pencerminan suatu titik koordinat terhadap garis y = x akan membuat nilai absis menjadi ordinat dan ordinat absis. Hasil refleksi titik A(a, b) terhadap garis y = x adalah titik A'(b, a).
Contoh: Hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap sumbu y = x adalah P'(2, 1)
Baca Juga: Perkalian Matriks 2×2, 3×3, dan mn x nm
4) Pencerminan terhadap Garis y = ‒x
Pencerminan terhadap garis y = ‒x akan membuat nilai absis menjadi lawan ordinat, sedangkan nilai ordinat menjadi lawan absis. Hasil titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu y = ‒x menjadi berada pada titik A'(‒b, ‒a).
Contoh: Hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap garis y = ‒x adalah P'(‒2, ‒1).
5) Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)
Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi lawannya.
Titik A(a, b) karena pencerminan terhadap titik asal O(0, 0) akan menjadi berada titik A'(‒a, ‒b).
Contoh: Hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap titik O(0,0) adalah P'(‒1, ‒2).
6) Pencerminan terhadap Garis x = h
Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h, sedangkan nilai titik ordinatnya tetap. Letak titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu x = h akan menjadi titik A'(2h ‒ a, b).
Contoh: Hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap garis x = 2 adalah P'(2×2 ‒1, 2) = P'(3, 2).
7) Pencerminan terhadap Garis y = k
Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k, sedangkan nilai titik absisnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(a, 2k – b) karena pencerminan terhadap sumbu y = k.
Contoh: hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap garis y = 2 adalah P'(1, 2×2 ‒2) = P'(1, 2).
Baca Juga: Operasi Hitung Matriks: Penjumlahan (+), Pengurangan (‒), dan Perkalian (×)
Contoh Soal Pencerminan +Bahas
Diketahui matriks A pada persamaan berikut.
Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A, adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0
Pembahasan:
Pertama adalah mencari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x. Di mana hasil pencerminan terhadap garis y = x akan merubah kedudukan titik A(x, y) menjadi A'(x’, y’).
Berdasarkan rumus di atas dapat diperoleh hasil persamaan x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.
3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
–x’ + 3y’ – 11 = 0
Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A seperti hasil berikut.
Diperoleh dua persamaan yaitu (i) –3x’ + 2y’ = x’’ dan (ii) –x’ + y’ = y’’. Berikutnya, akan dicari persamaan x’ dan y’ dalam variabel x” dan y” seperti pengerjaan pada langkah berikut.
Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan –x’ + 3y’ – 11 = 0 seperti yang dilakukan pada langkah penyelesaian berikut.
–x’ + 3y’ – 11 = 0
–(2y’’ – x’’) + 3( 3y’’ – x’’ ) – 11 = 0
–2y’’ + x’’ + 9y’’ – 3x’’ – 11 = 0
–2x’’ + 7y’’ – 11 = 0
2x’’ – 7y’’ + 11 = 0
Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.
Jawaban: E
Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui 2 Titik
Rotasi (Perputaran)
Transformasi geometri rotasi merupakan perubahan kedudukan objek karena diputar melalui suatu pusat sejauh sudut tertentu. Contoh perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sejauh 135o dengan pusat O(0,0) terdapat pada gambar di bawah.
Rotasi dengan pusat O sejauh α dituliskan dengan R[O; +α]. Rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh α dituliskan dengan R[P(a, b); +α].
Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar +α disepakati untuk arah yang berlawanan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi searah jalannya jarum jam maka sudut yang dibentuk adalah –α.
- Baca Juga:
Tabel rumus hasil transformasi geometri rotasi untuk titik P(a, b) :
| Rotasi | Hasil Rotasi |
| R[O; +90o] | (–b, a) |
| R[O; +180o] | (–a, –b) |
| R[O; –90o] | (b, –a) |
| R[P(m, n); +90o] | (–b+m+n, a–m+n) |
| R[P(m, n); +180o] | (–a+2m, –b+2n) |
| R[P(m, n); –90o] | (b–m+n, –a+m+n) |
Penjelasan hasil transformasi geometri suatu titik karena rotasi pada suatu pusat sejauh α terdapat pada bahasan di bawah.
1) Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α
Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam. Sebuah titik A(a, b) karena rotasi sejauh +90o dengan pusat O(0, 0) akan menjadi titik A'(–b, a).
Matrik transformasi geometri rotasi pada pusat O(0, 0) sejauh α:
Contoh: hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat O(0, 0) sejauh α = 90o adalah (‒2, 1).
Bagaimana cara mendapatkan titik hasil transformasi geometri tersebut terdapat pada langkah penyelesaian di bawah.
Pembahasan:
Misalkan titik koordinat hasil rotasi adalah a’ dan b’.
Menentukan absis hasil rotasi (a’):
a’ = 1 × cos 90o ‒ 2 × sin 90o
a’ = 1 × 0 ‒ 2 × 1 = 0 ‒ 2 = ‒2
Menentukan ordinat hasil rotasi (b’):
b’ = 1 × sin 90o + 2 × cos 90o
b’ = 1 × 1 + 2 × 0 = 1 + 0 = 1
Jadi, hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat O(0, 0) sejauh α = +90o adalah (‒2, 1).
Rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali. Misalnya, rotasi sejauh α yang selanjutnya dilanjutkan sejauh β pada pusat O(0, 0). Transformasi geometri rotasi tersebut dituliskan R[O; (α+β)].
Matrik transformasi geometri karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh α yang dilanjutkan dengan rotasi dengan pusat yang sama sejauh β:
2) Rotasi dengan Pusat (m, n) sebesar α
Rotasi dengan pusat P(m, n) sejauh α derajat akan memutar suatu titik koordinat sejauh α berlawanan arah jarum jam. Sebuah titik A(a, b) karena rotasi sejauh α = +90o dengan pusat P(m, n) akan berubah menjadi titik A'(a’, b’) = (–b+m+n, a).
Matrik transformasi geometri rotasi pada pusat P(m, n) sejauh α:
Contoh: Hasil rotasi titik A(1, 2) pada pusat P(3, 1) sejauh α = 90o adalah (2, –1).
Bagaimana cara mendapatkan titik hasil transformasi tersebuat ada pada langkah penyelesaian di bawah.
Pembahasan:
Misalkan titik koordinat hasil rotasi adalah a’ dan b’.
Menentukan absis hasil rotasi (a’):
a’ = (1 – 3)cos 90o – (2 – 1)sin 90o + 3
a’ = –2×cos 90o – sin 90o + 3 = –2×0 – 1 + 3 = 2
Menentukan ordinat hasil rotasi (b’):
b’ = (1 – 3)sin 90o + (2 – 1)cos 90o + 1
b’ = –2×sin 90o + cos 90o + 1 = –2×1 + 0 + 1 = –1
Jadi, hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat P(3, 0) sejauh α = 90o adalah (2, –1).
Untuk rotasi sejauh α yang dilanjutkan sejauh β derajat pada pusat (m, n) memiliki persamaan hasil rotasi yang sesuai dengan persamaan matriks rotasi berikut.
Baca Juga: Cara Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Matriks
Contoh Soal Rotasi +Bahas
Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[O(0,0); +90o] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0
Pembahasan:
Hasil transformasi pencerminan titik A(x, y) terhadap sumbu y adalah titik A'(–x, y).
Misalkan titik hasil pencerminan adalah (x’, y’) maka dapat diperoleh persamaan x’ = –x dan y’ = y atau x = –x’ dan y = y’.
Substitusi persamaan x = –x’ dan y = y’ ke persamaan x – 2y – 2 = 0 untuk mendapatkan hasil pencerminan garis tersebut terhadap sumbu y.
Menentukan hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y:
x – 2y – 2 = 0
–x’ – 2y’ = 2
Transformasi geometri selanjutnya adalah rotasi sejauh 90o pada pusat O(0, 0). Hasil titik rotasi sejauh 90o pada pusat O(0, 0) untuk titik A(x, y) adalah A'(–y, x).
Sehingga untuk hasil dari rotasi titik A(x’, y’) sejauh 90o pada pusat O(0, 0) adalah A'(–y’, x’).
Misalkan titik (x”, y”) hasil rotasi sejauh 90o pada pusat O(0, 0) maka diperoleh persamaan x” = –y’ dan y” = x’ atau y’ = –x” dan x’ = y”.
Substitusi persamaan y’ = –x” dan x’ = y” ke persamaan garis lurus –x’ – 2y’ = 2 untuk mendapatkan garis hasil rotasi garis sejauh 90o pada pusat O(0, 0).
–x’ – 2y’ = 2
–y’’ – 2(–x’’) = 2
–y’’ + 2x’’ = 2
2x’’ – y’’ = –2
2x’’ – y’’ + 2 = 0
Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0); +90o] adalah 2x – y + 2 = 0.
Jawaban: D
Dilatasi
Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Pada dilatasi, hasil transformasi geometri sutu objek akan memiliki ukuran yang berbeda. Ukruan yang dihasilkan dapat lebih kecil atau lebih besar. Bergantung dari faktor skala yang digunakan.
Rumus transformasi geometri dilatasi terdiri dari dua yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Dua rumus transformasi geometri dilatasi terdapat pada penjelasan di bawah.
1) Dilatasi titik terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m
Hasil dilatasi titik A(a, b) pada pusat O(0, 0) dengan faktor skala m adalah A'(am, bm). Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat O(0,0), dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.
2) Dilatasi titik terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m
Hasil dilatasi titik A(a, b) pada pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah A'(am ‒ mk + k, bm ‒ lm + l). Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.
Contoh Soal Dilatasi +Bahas
Hasil transformasi geometri titik (5, b) karena dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3 adalah (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2
Pembahasan:
Rumus transformasi geometri untuk titik A(a, b) karena dilatasi pada pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah A'(am ‒ mk + k, bm ‒ lm + l).
Sehingga, hasil dilatasi titik A(x, y) pada pusat P(3, 1) dengan faktor skala 3 adalah (x’, y’) akan memenuhi persamaan berikut.
- x’ = 3x ‒ 3×3 + 3
x’ = 3x ‒ 9 + 3
x’ = 3x – 6
- y’ = 3y ‒ 3×1 + 1
y’ = 3y ‒ 3 + 1
y’ = 3y ‒ 2
Titik yang dirotasi adalah (5, b) dan hasilnya adalah (a, 10). Substitusi nilai x = 5, y = b, x’ = a, dan y’ = 10 ke persamaan x’ = 3x – 6 dan y’ = 3y – 2 untuk mendapatkan nilai a dan b.
Menentukan nilai a:
x’ = 3x – 6
a = 3(5) – 6
a = 15 – 6 = 9
Menentukan nilai b:
y’ = 3y – 2
10 = 3b – 2
3b = 10 + 2
3b = 12
b = 12 : 3 = 4
Diperoleh nilai a = 9 dan b = 4, jadi nilai a – b = 9 – 4 = 5.
Jawaban: C
Sekian pembahasan mengenai rumus transformasi geometri yang terdiri dari translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Cara Mencari Nilai x dan y (nilai-nilai elemen matriks) pada Suatu Matriks
Ingat waktu presentase tentang geometri, ada kesan tersendiri. terimakasih atas tulisannya
untuk refleksi thd garis x = h, kalo menggunakan matriks hasilnya (2h – a,-b) (di tabel)
tapi dibawahnya lagi ( di grafik) di tuliskan (2h-a, b), yg benr yang mana kak? b nya negatif atau tidak?
Halo nabyllah, untuk pencerminan titik T(a, b) terhadap garis x = h akan menghasilkan bayangan titik yang memenuhi T'(2h – a, b), untuk matriks transformasi dalam tabel sudah dibenahi, terimakasih koreksinya, salam sukses selalu!
Kak,maaf jawaban contoh soal yg tentang refleksi mungkin Kaka sedikit keliru itu sebenarnya -2x^double aksen bukan hnya 2x double aksen saja kaka
Halo Arit, pada langkah keberapa ya?
Ka maaf sebelumnya, sepertinya ada kesalahan di soal terkahir ttg dilatasi. Pada bagian penjumlahan dengan pusat nya seharusnya ditambah (3,1) tp dibaris kedua ditulisnya (2,1) apa memang seperti itu? Soalnya saya itung hasil 5
Haloo Ff, terimakasih sudah mampir di idschool, tidak perlu minta maaf, jawaban kamu benar. Ini sebagai koreksi untuk admin, terimakasih koreksinya Ff, sukses selalu!
Jadi ingat masa kuliah, nice artikel gan.
iya gan, daripada ilmunya cuma nguap di otak mending didokumentasikan, semoga bisa bermanfaat untuk orang lain, hehe