Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG.
Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah ….
A. 16 cm
B. 14 cm
C. 12 cm
D. 10 cm
E. 8 cm
Jawab: E
Bidang yang tegak lurus dengan bidang FPQ dan DRS adalah bidang BDHF. Di mana bidang BDHF memotong bidang FPQ dan DRS berturut-turut pada ruas garis DT dan FU.
Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah jarak garis DT ke garis FU. Untuk proyeksi titik U pada garis DT adalah titik V, jarak garis DT ke garis VU sama dengan panjang ruas garis UV.
Panjang garis UV dapat dihitung dari persamaan luas jajar genjang BDTF. Namun sebelumnya perlu menghitung panjang garis FU = TD dan garis DU =TF terlebih dahulu.
Segitiga PBQ adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga panjang garis PQ = 4√2 cm. Dengan cara yang sama dapat diperoleh panjang garis RS = 4√2 cm (pada segitiga RHS).
Garis BD adalah garis diagonal bidang kubus dengan panjang rusuk 8 cm. Dengan begitu, panjang garis BD = FH = rusuk√2 = 8√2 cm.
Perhatikan segitiga PBQ dan RSH! Dari kedua segitiga tersebut dapat dihitung panjang BU dan HT seperti perhitungan berikut.
1a) Menghitung panjang BU:
LΔPBQ = LΔPBQ
1/2×PQ×BU = 1/2×PB×BQ 4√2 × BU = 4 × 4
BU = 4/√2 × √2/√2
BU = 4√2/2 = 2√2 cm
1b) Menghitung panjang HT:
LΔRHS = LΔRHS
1/2×RS×HT = 1/2×HR×HS 4√2 × HT = 4 × 4
BU = 4/√2 × √2/√2
BU = 4√2/2 = 2√2 cm
Diperoleh panjang BU = HT = 2√2 cm, sehingga panjang DU = TF = 8√2 – 2√2 = 6√2 cm. Panjang BU dapat digunakan untuk menghitung panjang FU dan panjang HT dapat digunakan untuk menghitung panjang TD.
2a) Menghitung panjang FU: perhatikan segitiga FBU
FU2 = BU2 + FB2 = (2√2)2 + 82
FU2 = 8 + 64 = 72
FU = √72 = √(36×2)
FU = √36 × √2 = 6√2 cm
2b) Menghitung panjang TD: perhatikan segitiga DHT
TD2 = HD2 + HT2 = 82 + (2√2)2
FU2 = 64 + 8 = 72
FU = √72 = √(36×2)
FU = √36 × √2 = 6√2 cm
Selanjutnya perhatikan jajar genjang DUFT pada kubus seperti gambar berikut.
Proyeksi titik T pada garis DU adalah titik W sehingga TW = tinggi jajar genjang = panjang rusuk kubus = 8 cm.
Jajar genjang DUFT dapat dipandang dengan dua cara. Pertama adalah jajar genjang dengan alas DU dan tinggi WT. Kedua adalah jajar genjang dengan alas TD dan tinggi UV.
Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah panjang segmen garis UV yang dihitung menggunakan luas jajar genjang seperti berikut.
3) Mencari panjang UV:
L DUFT = L DUFT
TD × UV = DU × TW 6√2 × UV = 6√2 × 8
UV = 8 cm
Jadi, jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm.