Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 1 dan garis y = -x + 3 adalah … satuan luas.

Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 1 dan garis y = -x + 3 adalah … satuan luas.
A. 11¹/₂
B. 6
C. 5¹/₂
D. 5
E. 4¹/₂

Jawab: E

Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 1 dan garis y = -x + 3 dapat dihitung dengan rumus integral yaitu _a∫^b (f(x₂) − f(x₁)) dx. Di mana f(x₁) = y₁ = x² + 1, f(x₂) = y₂ = −x + 3, serta a dan b adalah batas integral.

Batas intergal a dan b dapat diperoleh dari titik potong parabola y = x² + 1 dan garis y = −x + 3. Titik potong terjadi saat memenuhi persamaan x² + 1 = −x + 3.

1) Menentukan titik potong antara kurva y = x² + 1 dan y = −x + 3:
x² + 1 = −x + 3
x² + x + 1 − 3 = 0
x² + x − 2 = 0
(x + 2)(x− 1) = 0

Diperoleh dua nilai x yaitu x = −2 dan x = 1. Kedua nilai x tersebut menjadi batas integral yang digunakan untuk menghitung luas.

2) Menghitung luas daerah

Bentuk luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y = x² + 1 dan garis y = −x + 3 sesuai dengan gambar berikut.

Luas daerah tertutup:
L = _-2∫¹ (f(x₂) − f(x₁)) dx
= _-2∫¹(−x + 3 − (x² + 1)) dx
= _-2∫¹(−x² − x + 2) dx
= [−¹/₃x³ − ¹/₂x² + 2x]_-2¹
= (−¹/₃(1³) − ¹/₂(1²) + 2(1)) − (−¹/₃(−2)³ − ¹/₂(−2)² + 2(−2))
= (−¹/₃ − ¹/₂ + 2 − ⁸/₃ + 2 + 4 )
= 2 + 2 + 4 − ¹/₃ − ⁸/₃ − ¹/₂ = 4¹/₂

Jadi, luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y = x² + 1 dan garis y = −x + 3 adalah L = 4¹/₂ satuan luas.

!!! CARA CEPAT !!!

Ada rumus cepat yang bisa digunakan untuk menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y₁ dan sebuah garis lurus y₂.Rumus cepat yang digunakan menggunakan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat hasil dari y₁ = y₂.

Rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan garis:

Dari soal diketahui,
y₁ = x² + 1
y₂ = −x + 3

1) Membentuk persamaan kuadrat
y₁ = y₂
x² + 1 = −x + 3
x² + x + 1 − 3 = 0
x² + x − 2 = 0

Diperoleh persamaan kuadrat x² + x − 2 = 0. Dari persamaan kuadrat tersebut didapat nilai a = 1, b = 1 dan c = −2. Nilai diskriminan untuk persamaan kuadrat x² + x − 2 = 0 adalah D = 1² − 4(1)(−2) = 1 + 8 = 9.

2) Menghitung luas:

Diperoleh hasil luas yang sama pada perhitungan dengan rumus integral, yaitu L = 4¹/₂ satuan luas.