Rumus integral terdiri dari beberapa persamaan fungsi integral yang dapat digunakan untuk mendapatkan hasil fungsi integral dengan lebih mudah. Fungsi integral merupakan fungsi kebalikan dari fungsi turunan sehingga sering disebut dengan anti turunan.
Rumus integral yang paling sering digunakan adalah ʃxn dx = 1/(n+1) x (n+1) + C. Selain persamaan tersebut masih banyak beberapa rumus integral lain yang digunakan untuk mempermudah cara menentukan hasil fungsi integral.
Misalkan pada fungsi f(x) = x2 + 5 memiliki hasil fungsi integral ʃ f(x) dx = ʃ(x2 + 5) dx = ʃx2 dx + ʃ5 dx = 1/3 x3 + 5x + C. Ada dua rumus integral yang digunakan untuk menentukan hasil fungsi integral f(x) yaitu ʃxn dx = 1/(n+1) x (n+1) + C dan ʃ [f(x) + g(x)] dx = ʃ (f(x) dx + ʃg(x) dx + C.
Hasil integral dari fungsi f(x) yang lebih rumit, misalnya pada integral fungsi trigonometri, membutuhkan beberapa rumus integral lainnya. Ada beberapa rumus integral yang bisa digunakan untuk mendapatkan hasil fungsi integral. Bagaimana saja bentuk rumus integral? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Daftar Isi:
Rumus Integral Bentuk Umum
Kumpulan rumus integral di bawah berasal dari teorema-teorema fungsi integral. Di mana teorema tersebut dapat dibuktikan sehingga dapat digunakan dalam melakukan operasi hitung.
Pembahasan teorema integral cukup panjang untuk banyak rumus yang perlu dibuktikan. Sehingga tidak akan disertakan pada pemabahasan ini. Bagaiman pembuktian teorema tersebut dapat dilihan pada laman pembuktian rumus integral.
Beberapa rumus fungsi integral yang biasanya digunakan untuk menentukan hasil fungsi integral terdapat pada daftar berikut.
Baca Juga: Aplikasi Integral untuk Mencari Volume Benda Putar
2 Bentuk Fungsi Integral
Bentuk fungsi integral terbagi menjadi dua jenis yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Pada integral tak tentu, nilai integral tidak dibatasi oleh suatu nilai tertentu. Sedangkan pada integral tentu terdapat nilai yang membatasi fungsi integral.
1) Integral Tak Tentu
Integral tentu merupakan integral tanpa batas yang telah ditentukan. Bentuk umum integral tak tentu dinyatakan dalam bentuk berikut.
ʃ f(x) dx = F(x) + C
Aturan dasar menemukan nilai suatu integral ditunjukkan seperti persamaan di atas. Bagaimana cara menentukan hasil fungsi integral ditunjukkan dalam beberapa contoh berikut.
Contoh 1: ʃ 2x dx = . . .
ʃ 2x dx = 2/1+1 x1+1 + C
= 2/2 x2 + C
= x2 + C
Contoh 2: ʃ (x2 + 2x + 1) dx = . . .
ʃ(x2+2x+1) dx = ʃ x2 dx + ʃ 2x dx + ʃ 1 dx
= 1/2+1x2+1 + 2/1+2x1+1 + 1/0+1x0+1 + C
= 1/3x3 + 2/2x2 + 1/1x1 + C
= 1/3x3 + x2 + x + C
Contoh 3:
Cara menentukan hasil fungsi integral di atas dilakukan dengan pemisalan u = x2 + 2x + 6 sehingga du = (2x + 2) dx. Dengan pemisalan tersebut akan diperoleh fungsi f(u) yang lebih mudah ditentukan hasil integralnya.
Cara menentukan hasil fungsi intergal tersebut dilakukan seperti langkah penyelesaian di bawah.
Teknik penyelesaian hasil fungsi integral di atas dikenal dengan cara integral substitusi.
Baca Juga: Pengertian Fungsi Turunan dan 8 Teoremanya
2) Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral dengan batas yang telah ditentukan. Bentuk umum integral tentu dinyatakan dalam bentuk berikut.
ʃab f(x) dx = F(b) ‒ f(a)
Integral tentu memiliki sifat-sifat yang dapat digunakan untuk mempermudah proses perhitungan integral. Simak sifat-sifat integral tentu pada daftar di bawah.
Cara menentukan hasil fungsi integral tak tentu tidak jauh beda dengan fungsi integral tentu. Perbedaannya hanya terdapat pada langkah akhir penyelesaian hasil integral.
Di mana pada hasil fungsi integral tentu dilakukan substitusi nilai yang membatasi fungsi integral. Bagaimana cara menentukan nilai hasil fungsi integral tentu dilakukan seperti pada penyelesaian contoh 4 berikut.
Contoh 4:
Langkah pengerjaan soal integral tentu sperti di atas dilakukan melalui pemisalan. Misalkan u = x4 + 11 maka du = 4x3 dx atau dx = du/4x3.
Dengan pemisalan yang dilakukan akan diperoleh fungsi yang lebih mudah untuk ditentukan hasil integralnya. Cara menentukan hasil fungsi integral pada contoh 4 dilakukan seperti tahap penyelesaian berikut.
Contoh soal dan pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idshcool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Soal Integral
Pembahasan:
Misalkan u = 3x2 + 9x ‒ 1 maka du = (6x + 9) dx atau du/dx = 6x + 9
Dengan pemisalan tersebut akan dipeorleh fungsi integral yang lebih mudah untuk diselesaikan. Cara menentukan hasil fungsi intergal tersebut selanjutnya diberkan pada langkah pengerjaan berikut.
Jadi, hasil fungsi integral tersebut adalah 2/3√(3x2 + 9x ‒ 1).
Jawaban: C
Baca Juga: Rumus Luas Daerah yang Dibatasi Kurva
Contoh 2 Soal Integral
Nilai dari 3t adalah . . . .
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
E. 2
Pembahasan:
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menentukan hasil fungsi integral tentu pada soal. Cara menentukan hasil fungsi integral fungsi tentu dapat dilakukan seperti cara berikut.
Dari hasil pengerjaan di atas diperoleh fungsi t dengan pangkat tertinggi 3 yaitu t3 + 5t2 ‒ 8t + 2 = 50. Untuk mendapatkan nilai t perlu dilakukan pemfaktoran polinomial seperti yang dilakukan pada cara berikut.
t3 + 5t2 ‒ 8t + 2 = 50
t3 + 5t2 ‒ 8t + 2 ‒ 50 = 0
t3 + 5t2 ‒ 8t + 48 = 0
(t ‒ 3)(t + 4)(t + 4) = 0
Dapat diperoleh ilai t yang memenuhi persamaan t3 + 5t2 ‒ 8t + 48 = 0 ada dua yaitu,
- t ‒ 3 = 0
t = 3 - t + 4 = 0
t = ‒4
Ada dua nilai t yang memenuhi fungsi integral pada soal yaitu t = 3 atau t = ‒4, sehingga nilai 3t = 9 atau 3t = ‒12. Pada pilihan ganda yang diberikan ada satu jawaban yang memenuhi yaitu 3t = 9. Jadi, nilai dari 3t adalah 9.
Jawaban: B
Sekian pembahasan mengenai rumus integral untuk menentukan hasil fungsi integral f(x). Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.