Perhatikan gambar berikut!
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik A adalah ….
A. (11/2, 3)
B. (11/2, 41/2)
C. (21/2, 31/2)
D. (2, 2)
E. (2, 4)
Jawab: A
Titik A berada pada sebuah garis yang diketahui melalui dua titik yaitu (3, 0) dan (0, 6). Persamaan garis lurus tersebut dapat ditentukan dengan cara berikut.
Menentukan pesamaan garis lurus:
6(x − 3) = −3y
6x − 18 = −3y
6x + 3y = 18
3y = 18 − 6x
y = 6 − 2x
Daerah yang diarsir berupa persegi panjang, sehingga luasnya dapat dihitung dengan rumus luas L = panjang (p) × lebar (l). Misalkan lebar persegi panjang = x dan lebarnya sama dengan y = 6 − 2x.
Persamaan untuk luas persegi panjang tersebut memenuhi persamaan berikut,
Persamaan luas persegi panjang:
L = x(6 − 2x)
L = 6x − 2x2
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum saat turunan pertama persamaan luas sama dengan nol (L’ = 0).
Luas maksimum: L’ = 0
6 − 4x = 0
4x = 6
x = 6/4 = 3/2 = 11/2
Luas maksimum dicapai saat titik absis x = 3/2. Substitusi nilai x pada persamaan y untuk mendapatkan nilai titik ordinat.
Menentukan titik ordinat (y):
y = 6 − 2x
y = 6 − 2(3/2)
y = 6 − 3 = 3
Diperoleh titik koordinat saat luas daerah yang diarsir maksimum yaitu x = 3/2 dan y = 3.
Jadi, luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik A adalah (11/2, 3)
Cara Cepat!!!
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum saat absis titik A berada di setengah titik potong garis pada sumbu x dan ordinat titik A berada di setengah titik poting garis pada sumbu y.
Diketahui titik potong dengan sumbu x adalah 3 dan titik potong dengan sumbu y adalah 6. Koordinat titik A agar luas maksimum: A(1/2x, 1/2y) = A(1/2×3, 1/2×6) = A(11/2, 3).