Perhatikan gambar berikut!
Sebuah kerucut dengan tinggi 12 cm berada di dalam balok yang mempunyai alas persegi. Volume balok di luar kerucut sebesar 100(12 − π) cm3. Berapa luas permukaan kerucut tersebut?
(A) 60π
(B) 70π
(C) 80π
(D) 90π
(E) 100π
Jawab: (D)
Dari soal dapat diketahui beberapa informasi berikut.
- Tinggi kerucut: t = 12 cm
- Bentuk alas balok = persegi
- Volume balok di luar kerucut: V1 = 100(12 − π) cm3
Misalkan panjang sisi persegi adalah x, maka jari-jari alas kerucut adalah r = 1/2x. Ukuran balok dan kerucut dalam variabel x terdapat pada gambar berikut.
Volume balok di luar kerucut = Volume balok − Volume kerucut
100(12 − π) = 12x2 − 1/3×π×(1/2x2)×12
100(12 − π) = 12x2 − 1/3×π×1/4x2×12
100(12 − π) = 12x2 − πx2
100(12 − π) = x2(12 − π)
x2 = 100 → x = √100 = 10 cm
Diperoleh nilai x = 10 cm, sehingga panjang sisi alas balok adalah sisi = x = 10 cm dan jari-jari alas kerucut adalah r = 1/2×10 = 5 cm.
Untuk menghitung luas permukaan kerucut perlu diketahui panjang garis pelukis kerucut = TQ. Panjang garis tersebut dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras,
Menghitung garis pelukis kerucut:
s2 = TQ2 = TP2+PQ2
s2 = 52+122 = 25+144 = 169
s = √169 = 13 cm
Menghitung luas permukaan kerucut:
L = πr(r+s) = π×5×(5+13)
L = πr(r+s) = π×5×18 = 90π cm2
Jadi, luas permukaan kerucut dari sebuah kerucut dengan tinggi 12 cm berada di dalam balok yang mempunyai alas persegi dengan volume balok di luar kerucut sebesar 100(12−π) cm3 adalah L = 90π cm2.