UTBK 2023/PM
Sebuah mesin penggilingan padi dilengkapi dengan dua buah roda A dan B, yang masing-masing beradius 50 cm dan 30 cm. Kedua roda terhubung oleh sebuah sabuk (lihat gambar).

Sebuah mesin penggilingan padi dilengkapi dengan dua buah roda A dan B

Titik P dan Q masing-masing berada pada permukaan roda, sedangkan P’ dan Q’ berada pada permunkaan sabuk. Pada mulanya, posisi P dan P’ sama, demikian juga dengan posisi Q dan Q’.

Soal 1

Jika jarak P ke Q adalah √39.600 cm, jarak di antara kedua pusat roda adalah … m.

(A)   2

(B)   2,2

(C)   2,5

(D)   3

(E)   3,2

Jawab: (A)

Jarak antara pusat lingkaran, panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran, dan selisih jari-jari memenuhi Teorema Pythagoras. Perhatikan gambar sebuah mesin penggilingan padi dilengkapi dengan dua buah roda A dan B berikut.

Menghitung jarak di antara kedua pusat roda:

AB2 = PQ2 + (AP – BQ)2

AB2 = (√39.600)2 + (50 – 30)2

AB2 = 39.600 + 202

AB2 = 39.600 + 400 = 40.000

AB = √40.000 = 200 cm = 2 m

Jadi, jarak di antara kedua pusat roda adalah AB = 2 m.

Soal 2

Jika roda A sudap berputar sebanyak n kali, maka roda B berputar sebanyak … kali.

(A)    
10 3
n
(B)    
10 4
n
(C)    
10 6
n
(D)    
10 8
n
(E)    
10 9
n

Jawab: (C)

Panjang lintasan yang dilalui roda A pada sebuah mesin penggilingan padi dilengkapi dengan dua buah roda A dan B sama dengan panjang lintasan yang dilalui roda B. Panjang lintasan yang dilalui roda sama dengan keliling lingkaran.

Roda A memilik panjang jari-jari rA = 50 cm dan roda B memiliki panjang jari-jari rB = 30 cm. Untuk banyak putaran roda A sebanyak n kali, banyak putaran roda B dapat dihitung dengan langkah penyelesaian berikut.

Lintasan roda A = Lintasan roda B

n × Keliling roda A = m × Keliling roda B

n × rA = m × rB

n × 50 = m × 30

m =
50 30
n =
10 6
n


Jadi, roda B berputar sebanyak 10/6n kali.

Soal 3

Posisi titik P dan Q akan kembali pada posisi semula untuk pertama kalinya saat roda B berputar sebanyak … kali.

(A)   3

(B)   4

(C)   5

(D)   6

(E)   10

Jawab: (A)

Posisi titik P dan Q akan kembali pada posisi semula untuk pertama kalinya ketika selisih panjang lintasan yang dilalui antara roda A dan roda B sama dengan n kali keliling roda B. Di sini, soal dapat diselesaikan menggunakan KPK seperti langkah penyelesaian berikut.

Panjang lintasan yang dilalui roda A dan roda B memiliki hubungan dengan keliling roda tersebut.

Keliling roda A:

KA = 2×π×rA

KA = 2×π×50 = 100π

Keliling roda B:

KB = 2×π×rB

KB = 2×π×30 = 60π

Selisih lintasan yang dilalui roda A dan B

= 100π – 60π

= 40π

  • Faktorisasi prima 60π dan 40π:
    • 60π = 22 × 3 × 5π
    • 40π = 23 × 5π
  • KPK = 23 × 3 × 5π = 8 × 15π = 120π

Banyak putaran yang dilakukan roda B

=
120π 40π
= 3


Jadi, posisi titik P dan Q akan kembali pada posisi semua untuk pertama kalinya saat roda B berputar sebanyak (A) 3 kali putaran.

Soal 4

Jika jarak antar pusat roda 2 m dan titik P’ bergerak sampai titik Q’, roda A berputar sebanyak … kali.

(A)    
√369 10π
(B)    
√396 10π
(C)    
√404 10π
(D)    
√424 10π
(E)    
√440 10π

Jawab: (B)

Saat jarak antar pusat roda 2 m maka panjang lintasan yang dilalui titik P’ yang bergerak sampai titik Q’ pada sebuah mesin penggilingan padi dilengkapi dengan dua buah roda A dan B adalah √39.600 cm (lihat soal nomor 1).

Misalkan banyak putaran roda A adalah n maka lintasan P’ ke Q’ = Keliling roda A × n.

Sehingga,

√39.600 = 2πrA× n

√39.600 = 2×π×50 × n

√39.600 = 100π × n

n =
√39.600 100π

n =
39.600/100 10π
=
√396 10π


Jadi, roda A berputar sebanyak √396/10π kali.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.