Soal
Diketahui A(22, 10, −17) dan B(−2, 1, −2). Titik P membagi AB sehingga PA : PB = 2 1. Bila OP wakil dari p, OA wakil dari a, dan OB wakil dari b, maka vektor proyeksi p pada b adalah ….
A.
2 3
i +
13
j −
2 3
k
B.
4 3
i +
23
j +
4 3
k
C. −
4 3
i +
23
j −
4 3
k
D. −
4 3
i +
23
j +
4 3
k
E.
4 3
i −
23
j +
4 3
k
Kunci Jawaban
C. −4/3 i + 2/3 j − 4/3 k
Pembahasan
Diketahui perbandingan panjang PA : PB = 2 : 1. Berdasarkan aturan perbandingan vektor di dalam, rumus vektor posisi p adalah:
p =
1a + 2b1 + 2
=
a + 2b3
Substitusi nilai vektor a = (22, 10, -17) dan b = (-2, 1, −2) pada rumus vektor posisi p.
p =
(22, 10, –17) + 2 · (–2, 1, −2)3
=
(22, 10, –17) + (–4, 2, −4)3
=
(18, 12, –21)3
= (6, 4, –7)
Rumus vektor proyeksi ortogonal p pada b adalah:
c =
p · b | b | 2
Sehingga,
c =
(6, 4, –7) · (–2, 1, –2) (–22 + 1 2 + –22 )
· b
=
–12 + 4 + 14 9
· b
=
6 9
· b =
2 3
· b
Jadi, vektor proyeksi p pada b adalah
c =
2 3
· (−2, 1, −2)
c = −
4 3
i +
23
j −
4 3
k