Yamal sedang memancing di tepi sungai. Pada senar pan...

Soal

UTBK 2026/Penalaran Matematika
Yamal sedang memancing di tepi sungai. Pada senar pancingnya, terpasang sebuah pelampung yang dapat bergerak sepanjang senar dan selalu mengapung tepat di titik pertemuan senar dengan permukaan air.

Yamal berdiri memegang joran pancing dengan ujung joran berjarak 1,5 meter dari permukaan air. Seekor ikan yang berada pada kedalaman 50 cm di bawah permukaan air memakan umpan pada kail. Ikan selalu berusaha bergerak menjauhi Yamal sehingga senar pancing selalu lurus, tidak mengendur, dan membentuk sudut a dengan permukaan air seperti pada gambar berikut.

Dari posisi awal seperti pada gambar, Yamal mengulur senar pancingnya tanpa mengubah posisi ujung joran dan ikan bergerak menjauhi Yamal secara horizontal sejauh 1,2 meter. Akibatnya, posisi pelampung ikut bergeser ke tepat di atas posisi ikan sebelum berpindah.

Penambahan panjang senar yang terjadi adalah … cm.
(A) 13(40 – √106)
(B) 13(40 + √106)
(C) 40(13 – √106)
(D) 40(13 + √106)
(E) 40(106 – √13)

Kunci Jawaban

Pembahasan

Setelah ikan bergerak menjauhi Yamal, gambaran posisi dan ukurannya menjadi seperti berikut.

Panjang senar mula-mula adalah AE. Sementara panjang senar akhis adalah AC. Penambahan panjang senar yang terjadi sama dengan selisih panjang AE dan AC.

Perhatikan ΔABC dan ΔDEC!

ABDE

BCEC

~~200~~⁴50

BC120

BC = 120 × 4

BC = 480 cm

Sehingga BE = BC – EC = 480 – 120 = 360 cm

Menghitung panjang AE

Selanjutnya panjang AE dapat dicari menggunakan Teorema Pythagoras. Perhatikan segitiga ABE! (diketahui panjang AB = 200 dan BE = 360). AE merupakan sisi miring dari ΔABE, sehingga:

AE² = AB² + BE²

= 200² + 360²

= 40.000 + 129.600 = 169.600

Sehingga,
AE = √169.600 = √(1.600 × 106)

= √1.600 × √106

= 40√106

Diperoleh panjang senar mula-mula adalah AE = 40√106 cm

Menghitung panjang AC

Panjang AC dapat dicari menggunakan Teorema Pythagoras. Perhatikan segitiga ABC! AC merupakan sisi miring dari ΔABC (diketahui panjang AB = 200 dan BC = 480).

Panjang AC menggunakan Tripel Pythagoras 5, 12, dan 13. Untuk AB = 200 (5 × 40) dan BC = 480 (12 × 40), maka panjang AC = 13 × 40 = 520 cm.

Diperoleh panjang senar akhir adalah AC = 520 cm

Hitung penambahan panjang senar

Dari hasil perhitungan diperoleh panjang senar mula-mula adalah AE = 40√106 cm dan panjang senar akhir adalah AC = 520 cm.

Sehingga,
penambahan senar = AC – AE

= 520 – 40√106

= 40(13 – √106) cm

Jadi, penambahan panjang senar yang terjadi adalah 40(13 – √106) cm.