Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah …

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volume.
A. 8π
B. ¹³/₂π
C. 4π
D. ⁸/₃π
E. ⁵/₄π

Jawab: D

Ada dua cara untuk menghitung volume benda putar yaitu metode cakram dan metode kulit tabung. Penggunaan dua metode tersebut dibedakan berdasar partisi potongan yang dibuat.

Langkah-langkah menentukan volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu Y:

• Menggambar daerah yang dibatasi kurva untuk menentukan metode mana yang paling tepat digunakan
• Menentukan batas pengintegralan
• Menghitung volume benda putar

Bagaimana cara menghitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu Y terdapat pada 3 langkah di bawah,

1) Menggambar daerah yang dibatasi kurva

Sebelumnya perlu mengetahui bagaimana bentuk daerah yang dibatasi kurva y = -x² + 4 dan y = -2x + 4 terlebih dahulu. Daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut sesuai dengan gambar berikut.

Partisi dapat dibuat pada daerah yang dibatasi kurva dan tegak lurus dengan seumbu putar (sumbu y). Sehingga rumus volume benda putar dapat menggunakan metode cakram.

Rumus yang digunakan:

V = π _a ʃ ^b f²(x) dx

Di mana a dan b adalah batas pengintegralan atau titik potong garis dengan kurva.

2) Menentukan batas pengintegralan

Batas integral dari volume benda putar yang dapat diperoleh dari perpotongan kurva yang membatasi daerah pengintegralan.

Dari soal diketahui persamaan kurva y = -x² + 4 dan garis y = -2x + 4. Titik potong kurva dan garis diperoleh dengan membuat persamaan y seperti penyelesaian berikut.

Mendapatkan titik potong kurva:
−x² + 4 = −2x + 4
x² − 2x + 4 − 4 = 0
x² − 2x = 0
x(x − 2) = 0

Dapat diperoleh dua nilai x yaitu x₁ = 0 dan x₂ = 2. Substitusi kedua nilai tersebut untuk mendapatkan batas pengintegralan pada sumbu y.

Untuk x₁ = 0:
y = −2(0) + 4
y = 0 + 4 = 4

Untuk x₂ = 2:
y = −2(2) + 4
y = −4 + 4 = 0

Didapat batas pengintegralan pada sumbu y yaitu a = 0 dan b = 4

3) Menghitung volume benda putar

Rumus yang akan digunakan untuk menghitung volume volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu Y dalah V = π _a ʃ ^b f²(x) dx. Di sini a dan b berada pada sumbu y sehingga perlu untuk membentuk persamaan x₁² dan x₂² dalam variabel y.

Diperoleh dua fungsi f²(y) yaitu x₁² = 4 − y dan x₂² = ¹/₂y² − 4y + 8.

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x² + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu Y dihitung seperti langkah berikut.

Jadi, volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360^o mengelilingi sumbu Y adalah V = ⁸/₃π satuan volume.