Rumus Sn digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama. Rumus Sn deret aritmatika adalah Sn = ½n(a + Un) atau Sn = ½n(2a + (n-1)b). Sedangkan rumus Sn deret geometeri adalah Sn = a(r^n − 1)/(r − 1) dan Sn = a(1 − r^n)/(1 − r).
Cara menggunakan rumus Sn dijelaskan lebih lanjut melalui ulasan di bawah.
Daftar isi:
- Deret Artimatika dan Geometri
- Rumus Sn Deret Arimatika
- Rumus Sn Deret Geometri
- Contoh Soal dan Pembahasan
Deret Artimatika dan Geometri
Deret adalah jumlah barisan bilangan. Ada dua jenis deret yaitu deret aritmatika dan geometri. Contoh deret aritmatika adalah 1 + 2 + 3 + 4 + … + Un. Contoh deret geometri adalah 54 − 18 + 6 − 2 + … + Un.
Deret 1 + 2 + 3 + 4 + .. + Un merupakan jumlah bilangan yang memiliki pola bertambah satu untuk setiap kenaikan sukunya. Derat 8 + 6 + 2 + … + Un merupakan jumlah bilangan yang memiliki pola perkalian 1/3.
Jumlah 3 suku pertama deret 1 + 2 + 3 + 4 + … adalah 1 + 2 + 3 = 6. Sementara jumlah 3 suku pertama deret 54 − 18 + 6 − 2 + … adalah 54 − 18 + 6 = 42. Sangat mudah untuk dihitung. Namun tidak efektif untuk menghitung jumlah 100 suku pertama deret.
Untuk jumlah suku barisan yang lebih banyak dapat menggunakan rumus Sn.
Baca Juga: Induksi Matematika
Rumus Sn Deret Arimatika
Rumus Sn deret aritmatika menyatakan jumlah n suku pertama barisan bilangan aritmatika. Dengan n adalah bilangan asli yang menyatakan banyak suku yang dijumlahkan. Misal untuk jumlah 10 suku pertama, penulisannya menjadi S10.
Ada empat rumus Sn deret aritmatika yang perlu kamu tahu. Rumus Sn deret arimatika meliputi persamaan-persamaan berikut.
Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama deret
Un = suku ke-n
Ut = suku tengah
a = suku pertama
b = beda/selisih 2 suku berdekatan
n = 1, 2, 3, …, n (bilangan asli)
Rumus mana yang digunakan? Bergantung informasi yang ada di soal. Contoh cara menggunakan rumusnya ada pada penyelesaian soal berikut.
Contoh soal:
Tentuan jumlah 50 suku pertama barisan bilangan 2, 4, 6, 8, …!
Jawab:
Barisan bilangan aritmatika memiliki suku pertama a = 2 dan beda barisan b = 2. Diketahui nilai a dan b, rumus yang tepat digunakan adalah Sn = n/2[2a + (n – 1)b].
Menghitung S50:
= 25 × [4 + 98]
= 25 × 102 = 2.550
Rumus Sn Deret Geometri
Ada dua jenis barisan geometri yaitu barisan geometri divergen dan barisan geometri konvergen. Barisan geometri divergen memiliki rasio kurang dari 1 atau lebih dari 1. Sementara barisan geometri konvergen memiliki rasio antara 1 sampai -1 (rasio ≠ 0).
Rumus Sn deret geometri konvergen dan divergen ada di bawah.
Keterangan:
Sn = jumlah n suku deret
r = rasio dua suku berdekatan
a = suku pertama
n = 1, 2, 3, …, n (bilangan asli)
Cara menggunakan rumus jumlah untuk deret geometri ada pada penyelesaian contoh soal di bawah.
Contoh soal:
Tentukan jumlah lima suku pertama deret geometri 3 + 6 + 12 + …!
Jawab:
Rasio deret geometri tersebut adalah r = 2. Rumus Sn yang digunakan adalah Sn = a(rn – 1)/(r – 1).
Menghitung jumlah lima suku pertama:
Baca Juga: Rumus Deret Geometri Tak Hingga (S∞)
Contoh Soal dan Pembahasan
Latihan soal jumlmah n suku pertama deret aritmatika dan geometri ada di bawah!
Soal 1
Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315
Pembahasan:
Diketahui pola bilangan membentuk barisan aritmatika. Dengan U3 = 36 dan U5 + U7 = 144.
Sehingga,
U3 = a + 2b = 36
2b = 36 ‒ a
b = 18 ‒ 1/2a
Dan,
U5 + U7 = 144
(a+4b) + (a+6b) = 144
2a + 10b = 144
a + 5b = 72
Menentukan nilai a: substitusi b = 18 ‒1/2a ke persamaan a + 5b = 72
a + 5b = a + 5(18 ‒ 1/2a) = 72
a + 90 ‒ 5/2a = 72
‒3/2a = ‒18
a = ‒18 × ‒2/3 = 12
Menentukan nilai b:
b = 18 ‒ 1/2a
= 18 ‒ 1/2×12
= 18 ‒ 6 = 12
Jumlah sepuluh suku pertama (S10):
S10 = 5(24 + 108) = 5 × 132 = 660
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah S10 = 660.
Jawaban: B
Soal 2
Jumlah semua suku pada deret geometri
Pembahasan:
Deret 4/9 + 4/3 + 4 + … + 108 merupakan deret geometri divergen. Rasio deretnya adalah r = 3.
Menentukan banyak bilangan pada deret tersebut (n):
Un = arn−1 = 108
4/9 × 3n−1 = 108
Sehingga,
n − 1 = 5
n = 5 + 1 = 6
Menentukan jumlah deret geometri untuk n = 6:
Jadi, jumlah semua suku pada deret geometri 4/9 + 4/3 + 4 + … + 108 adalah Sn = 1617/9.
Jawaban: B
Soal 3
Dalam deret geometri, diketahui suku kedua adalah 10 dan suku kelima adalah 1.250. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 2(5n − 1)
B. 2(4n)
C. 1/2(5n − 1)
D. 1/2(4n)
E. 1/4(5n − 1)
Pembahasan:
Dari soal diketahui deret geometri yang memiliki U2 = 10 dan U5 = 1.250.
Menentukan rasio (r) deret:
r3 = 125
r = 3√125 = 5
Nilai suku pertama (a):
U2 = ar = 10
a×5 = 10
a = 10/5 = 2
Diperoleh nilai a = 2 dan r = 5. Rumus Sn deret geometri dapat dibentuk dengan cara berikut.
Jadi, jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 1/2(5n − 1).
Jawaban: C
Demikianlah tadi ulasan rumus sn deret aritmatika dan geometri, serta contoh soalnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!
