Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak ….
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 6
(E) 8
Jawab: (C)
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Misalkan nilai ujian ke-6 adalah a, nilai rata-rata dari siswa tersebut dapat diketahui yaitu,
Diketahui bahwa rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya. Sehingga nilai a memiliki syarat yang harus dipenuhi, yaitu:
Nilai median bergantung oleh nilai a karena nilai median diperoleh dari nilai tengah data terurut. Urutan enam nilai yang diperoleh siswa tersebut terdapat pada tabel berikut.
| a | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 4 | a | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 4 | 5 | a | 6 | 7 | 8 |
| 4 | 5 | 6 | a | 7 | 8 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | a | 8 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | a |
Dari tabel di atas dapat diperoleh kesimpulan nilai a memenuhi tiga kemungkinan berikut
- a ≤ 5
- a = 6
- a ≥ 7
Untuk a ≤ 5,
Ada dua kemungkinan urutan nilai siswa yaitu a, 4, 5, 6, 7, 8 dan 4, a, 5, 6, 7, 8. Nilai median untuk dua kelompok nilai tersebut adalah sama yaitu Median (Md) = 5, 5.
Nilai a yang memenuhi syarat x̅ < Md:
30 + a < 6×5,5
30 + a < 33
a < 33 – 30 → a < 3
Nilai a yang memenuhi syarat a ≤ 5 dan a < 3 adalah a = {1, 2}
Untuk a = 6,
Ada dua kemungkinan urutan nilai siswa yaitu 4, 5, a = 6, 6, 7, 8 dan 4, 5, 6, a = 6, 7, 8. Nilai median untuk dua kelompok nilai tersebut adalah sama yaitu Median (Md) = 6.
Menyelidiki nilai a yang memenuhi syarat x̅ < Md:
30 + a < 6×6
30 + a < 36
a < 36 – 30
a = 6 < 6 → salah, tidak memenuhi
Nilai a = 6 tidak memenuhi syarat x̅ < Md, sehingga tidak ada nilai a yang memenuhi syarat di sini.
Untuk a ≥ 7,
Ada dua kemungkinan urutan nilai siswa yaitu 4, 5, 6, 7, a, 8 dan 4, 5, 6, 7, 8, a. Nilai median untuk dua kelompok nilai tersebut adalah sama yaitu Median (Md) = 6,5.
30 + a < 6×6,5
30 + a < 39
a < 39 – 30 → a < 9
Nilai a yang memenuhi syarat a ≥ 7 dan a < 9 adalah a = {7, 8}
Untuk a ≤ 5 memiliki dua nilai a yang memenuhi yaitu a = {1, 2}. Untuk a = 6, tidak terdapat nilai a yang memenuhi. Sedangkan untuk a ≥ 7 memiliki dua nilai a yang memenuhi yaitu a = {7, 8}.
Jadi, nilai ujian terakhir dari seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7 yang mungkin adalah a = {1, 2, 7, 8} yaitu ada sebanyak n(a) = 4.