Rumus Barisan Aritmatika dan Geometri Kelas XI, Matematika SMA

Barisan aritmatika dan geometri adalah dua jenis barisan yang dibedakan berdasarkan pola setiap suku-suku bilangannya. Barisan aritmatika dikenali dari adanya nilai beda yang sama untuk setiap kenaikan suku-sukunya. Sedangkan barisan geometri dikenali dari adanya rasio yang sama untuk setiap kenaikan suku-sukunya.

Contoh barisan aritmatika adalah 1, 2, 3, 4, 5, … dan seterusnya. Bilangan-bilangan pada contoh barisan tersebut memiliki nilai beda yang sama untuk setiap kenaikan sukunya yaitu bertambah satu (b = 1).

Contoh barisan geometri adalah ½, 1, 2, 4, 8, … dan seterusnya. Bilangan-bilangan pada barisan ½, 1, 2, 4, 8, … memiliki rasio yang sama untuk setiap kenaikan sukunya yaitu perkalian dengan dua (r = 2).

Dalam rumus barisan aritmatika dan geometri menyatakan persamaan antara suku ke-n dengan suku pertama (a = U₁) dan beda/rasio. Rumus barisan aritmatika dan geometri tersebut memudahkan perhitungan nilai suku ke-n untuk nilai n yang sangat besar seperti n = 1.000 atau n yang lebih besar. Bagaimana caranya? Cari tahu lebih banyak melalui ulasan barisan aritmatika dan geometri di bawah.

Baca Juga: Rumus dan Sifat-sifat Notasi Sigma

Barisan Aritmatika dan Geometri

Barisan adalah daftar bilangan yang berjejer dari kiri ke kanan dengan suatu pola tertentu, Ada dua bentuk barisan berdasarkan bentuk polanya yaitu barisan aritmatika dan geometri. Bagaimana perbedaan dari barisan aritmatika dan geometri terdapat pada ulasan berikut.

 1) Barisan Aritmetika

Barisan aritmatika adalah urutan bilangan-bilangan dengan selisih yang sama pada dua suku yang berdekatan. Selisih atau beda pada barisan matematika dapat dinyakan dalam persamaan b = U₂ − U₁ = U₃ − U₂ = … = U_n − U_n−1.

Misalnya pada barisan bilangan 2, 10, 18, 26, …, dst. Antara suku pertama U₁ = 2 dan suku kedua U₂ = 10 memiliki beda b = 10 − 2 = 8. Antara suku kedua U₂ = 10 dan suku ketiga dua U₃ = 18 sama dengan beda b = 18 − 10 = 8. Hal yang sama berlaku untuk dua suku berdekatan yang lainnya.

Bentuk umum barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b adalah a, a+b, a+2b, …, a + (n−1)b.

Suku ke – n suatu barisan aritmetika dapat ditentukan melalui sebuah rumus. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah Un = a + (n − 1)b.

Keterangan:
a: suku pertama
b: beda (selisih)
Un: suku ke-n
Ut: suku tengah barisan
n = 1, 2, 3, … (bil. asli)

Bagaimana cara menggunakan rumus Un barisan aritmatika terdapat pada cara penyelesaian soal-soal berikut.

Soal 1:
Tentukan suku ke-12 dari barisan 5, 4, 3, 2, …!

Jawab:
Barisan bilangan 5, 4, 3, 2, … memiliki beda yang sama untuk setiap kenaikan sukunya. Sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan ketentuan seperti berikut.

• Suku pertama: a = 5
• Beda:
  b = U₂−U₁ = U₃−U₂ = … = U_n−U_n−1
  b = 4 − 5 = 3 − 4 = … = −1

Menentukan nilai suku ke-12 (U₁₂):
U₁₂ = 5 + (12−1) × −1
U₁₂ = 5 + 11×(−1) = 5 − 11 = −6

Soal 2:
Tentukan suku tengah dari barisan 3, 5, 7, …, 15!

Jawab:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat disimpulkan beberapa informasi berikut.

• Jenis barisan: aritmatika
• Suku pertama: U₁ = a = 3
• Beda: b = 5−3 = 7−5 = … = 2
• Sukur terakhir: U_n = 15

Menentukan nilai suku tengah (Ut):

2) Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap untuk dua suku yang berdekatan. Rumus rasio pada barisan geometri adalah perbandingan suku ke n dengan suku ke-(n−1).

Bentuk umum barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a, ar, ar², …, arⁿ⁻¹.

Nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat memenuhi sebuah persamaan. Di mana rumus suku ke-n (Un) dan suku tengah (Ut) dari barisan geometri sesuai dengan persamaan di bawah.

Keterangan:
Un = suku ke-n
Ut = suku tengah
a = suku pertama (U₁)
r = rasio
n = 1, 2, … (bilangan asli)
 
Bagaimana penggunaan rumus Un dan Ut dari deret geometri terdapat pada cara penyelesaian soal-soal di bawah.

Soal 3:
Tentukan suku ke-6 dan suku tengah dari barisan 512, 256, 128, …, 2!

Jawab:
Berdasarkan barisan bilangan pada soal dapat diperoleh informasi berikut.

• Jenis barisan: geometri
• Suku pertama: U₁ = a = 512
• Rasio: r = ²⁵⁶/₅₁₂ = ¹²⁸/₂₅₆ = … = ¹/₂
• Suku terakhir: U_n = 2

Menentukan suku ke-6 (U₆):
U₆ = 512 × (¹/₂)⁶⁻¹
U₆ = 512 × (¹/₂)⁵
U₆ = 512 × ¹/₃₂ = 16
 
Mencari nilai suku tengah:
U_t = √(U₁×U_n) = √(512×2)
U_t = √1.024 = 32

Jadi, suku tengah dari barisan geometri 512, 256, 128, …, 2 adalah 32.

Baca Juga: 2 Langkah Pembuktian dengan Induksi Matematika

Deret Aritmatika dan Geometri

Deret adalah jumlah bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan aritmatika dan geometri. Secara umum, bentuk deret dari barisan aritmatika dan geometri adalah U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n.

Jumlah bilangan-bilangan dari suatu barisan disimbolkan dengan S. Untuk jumlah n suku pertama dinyatakan dengan simbol Sn.

Rumus Sn untuk deret aritmatika dan geometri berbeda. Berikut ulasan masing-masing rumus Sn dari deret aritmatika dan geometri.

1) Deret Aritmetika

Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dapat dinyatakan dalam tiga persamaan. Ketiga persamaan untuk rumus Sn deret aritmatika terdapat pada tiga persamaan berikut.

Bagaimana cara menggunakan rumus Sn untuk deret aritmatika terdapat pada langkah penyelesaian di bawah.

 Soal 4:
Tentukan jumlah deret aritmetika 3 + 5 + 7 + … + 21!

Jawab:
Berdasarkan deret tersebut dapat diperoleh informasi bahwa:

• Jenis deret: Aritmatika
• Suku pertama: a = 3
• Beda: b = U₂−U₁ = U₃−U₂ = … = U_n−U_n−1 = 5−3 = 2
• U_n = 21

Mencari jumlah 10 suku pertama (S₁₀):

Jadi jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 3 + 5 + 7 + … + 21 adalah 120.

2) Deret Geometri

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) deret geometri ada dua. Satu rumus Sn untuk nilai rasio kurang dari 1 (r < 1) dan satu rumus Sn untuk nilai rasio lebih dari 1 (r > 1). Kedua rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri terdapat pada 2 persamaan di bawah.

Keterangan:
S_n= jumlah n suku pertama
a = suku pertama (U₁)
r= rasio deret geometri
 
Bagaimana cara menggunakan rumus Sn untuk deret geometri terdapat pada langkah penyelesaian soal di bawah.

Soal 5:
Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2ⁿ!

Jawab:
Dari soal dapat diperoleh beberapa kesimpulan berikut.

• Jenis barisan: geometri
• Suku pertama: a = 2
• Rasio: r = ⁴/₂ = ⁸/₄ = ¹⁶/₈ = … = 2

Menghitung suku ke-8:
U₈ = 2 × 2⁸⁻¹
U₈ = 2 × 2⁷
U₈ = 2⁸ = 256

Menghitung 8 suku pertama (S₈):

Baca Juga: Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga (S_∞)

Sekian ulasan mengenai deret dan barisan aritmatika dan geometri. Terima kasih sudah mengunjugi idschool.net, semoga ulasan materi barisan aritmatika dan geometri di atas bermanfaat!