Pengertian Turunan Fungsi (+8 Teorema Turunan)

Teori menegnai turunan fungsi diawali oleh sebuah permasalahan garis singgung oleh ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 s.d. 212 SM). Berkembangnya pengetahuan, teori turunan fungsi dibawa ke dalam masalah persamaan limit.

Sebuah kurva y = f(x) memuat dua titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah P(c, f(c)) dan Q(c+h, f(c+h)). Kemiringan garis PQ dapat ditentukan melalui persamaan tan, sehingga diperoleh definisi turunan.

Euclid mengungkapkan gagasannya tentang garis singgung yang menyentuh kurva pada satu titik, gagasan tersebut berfungsi untuk persamaan lingkaran tetapi tidak berfungsi pada beberapa kurva.

Uraian terbaik mengenai teori turunan fungsi kemudian digambarkan melalui konsep limit.

Bagaimanakah definisi atau pengertian turunan fungsi? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Turunan Fungsi Trigonometri

Definisi Turunan Fungsi

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau ^dy/_dx seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.

Definisi turunan fungsi f(x) memenuhi seperti persamaan berikut.

*asalkan nilai limitnya ada

Contoh penggunaan pengertian turunan fungsi yang diberikan dalam definisi turunan di atas untuk mencari nilai turunan.

Soal:
Tentukan turunan pertama dari persamaan f(x) = 13x + 8, menggunakan definisi turunan!

Penyelesaian:

Penggunaan definisi untuk menentukan turunan dari sebuah persamaan dirasa tidak praktis, sehingga diperlukan aturan atau teorema dari turunan fungsi).

Baca Juga: Interval Fungsi Naik dan Turun

Teorema merupakan persamaan umum yang dapat dibuktikan kebenarannya. Sehingga penggunaan teorema dapat menghasilkan jawaban yang benar dengan cara pengerjaan yang tepat. Beberapa teorema dalam turunan fungsi diberikan pada bahasan di bawah.

Teorema pada Turunan Fungsi

Setidaknya ada delapan teorema dalam turunan fungsi yang dapat sobat idschool gunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis tipe soal turunan fungsi. Kedelapan teorema dalam turunan fungsi beserta buktinya dapat sobat idschool simak pada masing-masing bahasan teorema di bawah.

Teorema 1

Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: ^d/_dx k = 0

Bukti:

Contoh penggunaan Teorema 1 digunakan untuk menyelesaikan soal berikut.

Soal:
Turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah ….

Pembahasan:
Nilai 7 merupakan suatu konstanta sehingga turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah 0.

Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan ^d/_dx x = 1.

Bukti:

Contoh penggunaan Teorema 2 digunakan untuk menetukan hasil turunan fungsi pada soal berikut.

Soal:
Turunan pertama dari fungsi y = 7x adalah ….

Pembahasan:
y = 7x
^dy/_dx = ^d(7x)/_dx
^dy/_dx = 7 ^dx/_dx
^dy/_dx = 7 × 1 = 7

Baca Juga: Cara Menentukan Nilai Maksimum/Minimum dari Fungsi Trgonometri

Teorema 3 (Aturan Pangkat)

Jika f(x) = xⁿ maka f'(x) = n ⋅ xⁿ⁻¹ dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xⁿ) =n⋅ x^n-1 dx.

Bukti:

Contoh penggunaan Teorema 3 untuk menentukan hasil turunan fungsi terdapat pada soal dan pembahasannya di bawah.

Soal:
Turunan pertama dari fungsi y = x⁹ adalah . . . .

Jawab:
D_x(x⁹) = 9x^9-1 + C
D_x(x⁹) = 9x⁸ + C

Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bukti:
Andaikan F(x) = k⋅f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.

Contoh penggunaan Teorema 4 digunakan untuk menyelesaikan hasil turunan fungsi pada soal di bawah.

Soal:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = -5x⁴!

Jawab:
D_x(-5x⁴ ) = -5 ⋅ D_x(x⁴)
D_x(-5x⁴ ) = -5 ⋅ (4x³)
D_x(-5x⁴ ) = -20x³

Teorema 5 (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) + g(x) maka:

Contoh penggunaan Teorema 5 digunakan untuk menentukan hasil turunan fungsi untuk soal di bawah.

Soal:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x⁴ + 8x!

Jawab:
D_x( 5x⁴ + 8x) = D_x(5x⁴) + D_x(8x)
D_x( 5x⁴ + 8x) = 5 ⋅ D_x(x⁴) + 8 ⋅ D_x(x)
D_x( 5x⁴ + 8x) = 5 ⋅ 4x³ + 8 ⋅ 1
D_x( 5x⁴ + 8x) = 20x³ + 8

Baca Juga: Tips Cara Menyelesaikan Limit Fungsi

Teorema 6 (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f – g)'(x) = f'(x) – g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) – g(x) maka turunan fungsi F(x) atau F'(x) akan memenuhi persamaan berikut.

Contoh Penggunaan Teorema 6 digunakan untuk menentukan hasil turunan fungsi pada soal berikut.

Soal:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 6x − 2x³!

Jawab:
D_x(6x − 2x³) = D_x(6x) − D_x(2x³)
D_x(6x − 2x³) = 6 ⋅ D_x(x) − 2 ⋅ D_x(x³)
D_x (6x − 2x³) = 6 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3x²
D_x( 5x⁴ + 8x) = 6 − 6x²

Teorema 7 (Aturan Turunan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f × g)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bentuk arutan hasil kali sering dinyatakan dalam persamaan u dan v, misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka: D_x(uv) = u⋅D_x(v) + v⋅D_x(u) = uv’ + vu’.

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) × g(x) maka turunan fungsi hasil kali akan memenuhi persamaan berikut.

Contoh penggunaan Teorema 7 digunakan untuk menentukan hasil turunan fungsi pada soal di bawah.

Soal:
Jika diketahui: f(x) = (3x² − 2)(5x − 4) maka f'(x) = ….
A. 45x² − 24x − 10
B. −45x² − 24x − 10
C. 45x² + 24x − 10
D. 45x² − 24x + 10
E. −45x² − 24x + 10

Jawab:
Hasil turunan f(x) dari persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus: f(x) = u ⋅ v → f'(x) = u’ ⋅ v + u⋅v’.

Misal:
u = 3x² − 2
u’ = D_x(3x² − 2) = 6x

v = 5x−4
v’ = D_x(5x − 4) = 5

Sehingga,
f'(x) = 6x(5x − 4) + 5(3x² − 2)
=30x² − 24x + 15x² − 10
=45x² − 24x − 10 (A)

Teorema 8 (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan g(x) ≠ 0 maka

misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:

Bukti:
Andaikan F(x) = ^f(x)/_g(x) maka turunan fungsi F(x) akan memenuhi persamaan di bawah.

Contoh penggunaan Teorema 8 untuk menentukan hasil turunan fungsi terdapa pada soal dan pembahasan di bawah.

Soal:
Tentukan turunan pertama dari persamaan di bawah!

Jawab:
Misakan,
u = 2x − 3 → u’ = D_x(2x − 3) = 2
v = x3 + 5 → v’ = D_x(x³ + 5) = 3x²

Sehingga turunan pertama dari fungsi f(x) dapat dicari seperti cara di bawah.

Demikianlah tadi ulasan pengertian dan definisi turunan fungsi, terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!