Pengertian Turunan Fungsi (+8 Teorema Turunan)

Pengertian Turunan Fungsi diawali pada ilmu turunan muncul dalam permasalahan garis singgung oleh ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 s.d. 212 SM). Permasalahan kemudian berkembang ke arah benda bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat. Euclid mengungkapkan gagasannya tentang garis singgung yang menyentuh kurva pada satu titik, gagasan tersebut berfungsi untuk persamaan lingkaran tetapi tidak berfungsi pada beberapa kurva. Uraian terbaik mengenai turunan fungsi digambarkan melalui konsep limit.

Sebuah kurva y = f(x) memuat dua titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah P(c, f(c)) dan Q(c+h, f(c+h)). Kemiringan garis PQ dapat ditentukan melalui persamaan tan, sehingga diperoleh definisi turunan. Sebelum mempelajari definisi turunan, perhatikan gambar di bawah!

Definisi Turunan Fungsi

Baca Juga: Turunan Fungsi Trigonometri

Dari kurva di atas dapat dibentuk persamaan yang sesuai dengan definisi turunan fungsi. Bagaimanakah definisi atau pengertian turunan fungsi? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Definisi Turunan Fungsi

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau dy/dx seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.

Definisi turunan fungsi f(x) memenuhi seperti persamaan berikut.

*asalkan nilai limitnya ada

Contoh penggunaan pengertian turunan fungsi yang diberikan dalam definisi turunan di atas untuk mencari nilai turunan.

Soal:
Tentukan turunan pertama dari persamaan f(x) = 13x + 8, menggunakan definisi turunan!

Penyelesaian:

Penggunaan definisi untuk menentukan turunan dari sebuah persamaan dirasa tidak praktis, sehingga diperlukan aturan atau teorema dari turunan fungsi).

Baca Juga: Interval Fungsi Naik dan Turun

Teorema merupakan persamaan umum yang dapat dibuktikan kebenarannya. Sehingga penggunaan teorema dapat menghasilkan jawaban yang benar dengan cara pengerjaan yang tepat. Beberapa teorema dalam turunan fungsi diberikan pada bahasan di bawah.

Teorema dalam Turunan Fungsi

Setidaknya ada delapan teorema dalam turunan fungsi yang dapat sobat idschool gunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis tipe soal turunan fungsi. Kedelapan teorema dalam turunan fungsi beserta buktinya dapat sobat idschool simak pada masing-masing bahasan teorema di bawah.

Teorema 1

Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: d/dx k = 0

Bukti:

Contoh penggunaan Teorema 1:
Turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah ….
Pembahasan:
Nilai 7 merupakan suatu konstanta sehingga turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah 0.

Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan d/dx x = 1.

Bukti:

Contoh penggunaan Teorema 2:
Turunan pertama dari fungsi y = 7x adalah ….
Pembahasan:
y = 7x
dy/dx = d(7x)/dx
dy/dx = 7 dx/dx
dy/dx = 7 × 1 = 7

Baca Juga: Cara Menentukan Nilai Maksimum/Minimum dari Fungsi Trgonometri

Teorema 3 (Aturan Pangkat)

Jika f(x) = xn maka f'(x) = n ⋅ xn−1 dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xn) =n⋅ xn-1 dx.

Bukti:

Contoh penggunaan Teorema 3:

Soal:
Turunan pertama dari fungsi y = x9 adalah ….

Jawab:
Dx(x9) = 9x9-1 + C
Dx(x9) = 9x8 + C

Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bukti:
Andaikan F(x) = k⋅f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.

Contoh Penggunaan Teorema 4:

Soal:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = -5x4!

Jawab:
Dx(-5x4 ) = -5 ⋅ Dx(x4)
Dx(-5x4 ) = -5 ⋅ (4x3)
Dx(-5x4 ) = -20x3

Teorema 5 (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) + g(x) maka:

Contoh Penggunaan Teorema 5:

Soal:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x4 + 8x!

Jawab:
Dx( 5x4 + 8x) = Dx(5x4) + Dx(8x)
Dx( 5x4 + 8x) = 5 ⋅ Dx(x4) + 8 ⋅ Dx(x)
Dx( 5x4 + 8x) = 5 ⋅ 4x3 + 8 ⋅ 1
Dx( 5x4 + 8x) = 20x3 + 8

Baca Juga: Tips Menyelesaikan Limit Fungsi

Teorema 6 (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f – g)'(x) = f'(x) – g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) – g(x) maka

Contoh Penggunaan Teorema 6:

Soal:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 6x − 2x3!

Jawab:
Dx(6x − 2x3) = Dx(6x) − Dx(2x3)
Dx(6x − 2x3) = 6 ⋅ Dx(x) − 2 ⋅ Dx(x3)
Dx (6x − 2x3) = 6 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3x2
Dx( 5x4 + 8x) = 6 − 6x2

Teorema 7 (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f × g)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bentuk arutan hasil kali sering dinyatakan dalam persamaan u dan v, misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka: Dx(uv) = u⋅Dx(v) + v⋅Dx(u) = uv’ + vu’.

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) × g(x) maka

Contoh Penggunaan Teorema 7

Soal:
Jika diketahui: f(x) = (3x2 − 2)(5x − 4) maka f'(x) = ….
A. 45x2 − 24x − 10
B. −45x2 − 24x − 10
C. 45x2 + 24x − 10
D. 45x2 − 24x + 10
E. −45x2 − 24x + 10

Jawab:
Hasil turunan f(x) dari persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus: f(x) = u ⋅ v → f'(x) = u’ ⋅ v + u⋅v’.

Misal:
u = 3x2 − 2
u’ = Dx(3x2 − 2) = 6x

v = 5x−4
v’ = Dx(5x − 4) = 5

Sehingga,
f'(x) = 6x(5x − 4) + 5(3x2 − 2)
=30x2 − 24x + 15x2 − 10
=45x2 − 24x − 10 (A)

Baca Juga: Contoh Soal-Soal Turunan

Teorema 8 (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan g(x) ≠ 0 maka

misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x)/g(x) maka:

Contoh Penggunaan Teorema 8

Soal:
Tentukan turunan pertama dari persamaan di bawa!

Jawab:
Misakan,
u = 2x − 3 → u’ = Dx(2x − 3) = 2
v = x3 + 5 → v’ = Dx(x3 + 5) = 3x2

Sehingga turunan pertama dari fungsi f(x) dapat dicari seperti cara di bawah.

Demikianlah tadu ulasan pengertian dan definisi turunan fungsi, terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Kumpulan Contoh Soal Turunan Fungsi

3 comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.