Deret tak hingga geometri adalah jumlah barisan bilangan geometri yang terdiri dari banyak tak hingga bilangan. Untuk barisan bilangan tak hingga 1, 2, 4, 8, … memiliki bentuk deret geometri tak hingga 1 + 2 + 4 + 8 + … (rasio r = 2). Jumlah deret geometri tak hingga untuk deret divergen seperti pada deret 1 + 2 + 4 + 8 + … adalah tak hingga. Sementara untuk jumlah deret geometri tak hingga untuk deret konvergen dihitung dengan rumus S∞ = a/1 ‒ r (a = suku pertama dan r = rasio).
Karakteristik dari deret geometri adalah memiliki nilai rasio yang sama untuk setiap sukunya. Rasio adalah perbandingan antara dua suku berurutan.
Bentuk umum rasio secara umum dinyatakan dalam persamaan r = Un/Un‒1. Di mana Un adalah adalah suku ke n dari deret geometri dan Un‒1 adalah suku ke-(n‒1) atau satu suku sebelum suku ke-n.
Bagaimana langkah pengerjaan untuk menghitung jumlah deret geomteri tak hingga? Bagaimana cara menghitung jumlah deret geommetri tak hingga? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Jumlah Deret Geometri Divergen Tak Hingga
Deret divergen adalah barisan bilangan yang nilai sukunya naik atau selalu turun. Karakteristik dari deret divergen adalah memiliki rasio lebih dari 1 (r > 1) atau rasio kurang dari -1 (r < -1).
Contoh deret geometri tak hingga yang divergen naik adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (rasio r = 2). Contoh deret geometri tak hingga yang divergen turun adalah ‒1/3, ‒1, ‒3, ‒27, … (rasio r = ‒3).
Setiap deret geometri tak hingga yang merupakan deret divergen memiliki jumlah sangat besar. Sehingga jumlah deret geometri tak hingga yang diveregen naik/turun dinyatakan dalam nilai tak hingga.
Untuk deret divergen naik memiliki jumlah deret geometri tak hingga S∞ = ∞. Sementara untuk deret divergen turun memiliki jumlah deret geometri tak hingga S∞ = ‒∞.
Baca Juga: Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika dan Geometri
Jumlah Deret Geometri Tak Hingga yang Konvergen
Deret konvergen adalah barisan bilangan yang nilai suku-sukunya akan mendekati suatu nilai bilangan real. Karakteristik dari deret konvergen adalah memiliki rasio antara ‒1 dan 1 ( ‒1 < r < 1) seperti r = 1/2, r = ‒1/3, r = 4/5, dan lain sebagainya.
Contoh deret geometri tak hingga yang konvergan adalah 8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4, … (rasio r = 1/2). Contoh lain untuk deret geometri tak hingga yang konvergan adalah ‒12 + 4 ‒4/3 + 4/9 + … (rasio r = ‒1/3).
Setiap deret geometri tak hingga yang merupakan deret konvergen memiliki jumlah yang dapat dinayatakan dalam suatu nilai. Nilai tersebut dapat dihitung dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga (S∞).
Baca Juga: Cara Menentukan Satuan Bilangan Berpangkat Banyak
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1- Soal Jumlah Deret Geometeri Tak Hingga
Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ….
A. 36 meter
B. 38 meter
C. 45 meter
D. 47 meter
E. 51 meter
Pembahasan:
Dari soal dapat diketahui bahwa pantulan lintasan yang dilalui bola akan membentuk dere geomteri. Setiap kali bola memantul akan berkurang 2/3 dari tinggi sebelumnya (rasio r = 2/3).
Ada dua lintasan yang dilalui oleh gerakan bola yaitu saat bola naik dan saat bola turun. Gambaran lintasan yang dilalui bola terdapat pada ilustrasi berikut.
Perhatikan lintasan yang dilalui bola setelah memantul akan mebentuk dua kali deret 6 + 4 + 8/3 +…. Sehingga panjang lintasan yang dilalui bola dapat dihitung dengan jumlah H0 dengan dua kali jumlah deret geometri tak hingga turun.
Jadi, panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah 45 meter.
Jawaban: C
Baca Juga: Langkah Pembuktian Rumus dengan Induksi Matematika
Contoh 2- Soal Jumlah Deret Geometeri Tak Hingga
Pembahasan:
Deret geometri 96 ‒ 48 + 24 ‒ 12 + … merupakan deret konvergen karena memiliki nilai rasio r = ‒48/96 = ‒1/2. Dari deret yang dberikan diketahui bahwa suku pertama sama dengan U1 = a = 96. Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen dihitung dengan rumus S∞ = a/1‒r seperti cara berikut.
S∞ = a/1‒r
S∞ = 96/1‒(‒½)
S∞ = 96 : 3/2
S∞ = 96 × 2/3 = 64
Jadi, jumlah tak hingga dari deret geometri 96 ‒ 48 + 24 ‒ 12 + … adalah 64.
Jawaban: C
Demikianlah tadi ulasan dua bentuk rumus jumlah deret geometri tak hingga yang dibedakan berdasarkan bentuk deret divergen atau koevergen. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
