Deret tak hingga geometri adalah jumlah barisan bilangan geometri dengan banyak suku tak hingga. Rumus deret geometri tak hingga ada dua. Yaitu untuk rumus deret geometri tak hingga dari barisan divergen dan konvergen. Contoh deret geometri divergen tak hingga 1 + 2 + 4 + …. Dan contoh deret geometri konvergen adalah 27 + 9 + 3 + ….
Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah S∞. Cara menghitungnya dijelaskan lebih lanjut melalui ulasan di bawah.
Daftar isi:
Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Rumus jumlah deret geometri tak hingga dari barisan divergen berbeda dengan barisan konvergen. Perbedaannya dijelaskan melalui ulasan di bawah.
1) Barisan Divergen
Deret divergen adalah barisan bilangan yang nilai sukunya selalui naik atau turun. Karakteristik dari deret divergen adalah memiliki rasio lebih dari 1 atau rasio kurang dari -1.
Contoh deret geometri divergen naik adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, …. Contoh deret geometri divergen turun adalah ‒1/3, ‒1, ‒3, ‒27, ….
Deret geometri divergen memiliki pola bilangan yang menyebar tak terbatas. Sehingga jumlah deretnya tak hingga. Rumus jumlah deret divergen naik tak hingga adalahS∞ = ∞. Dan rumus jumlah deret divergen turun tak hingga adalah S∞ = ‒∞.
Contoh soal:
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 2 + 4 + 8 + 16 + …!
Jawab:
Deret geometri tak hingga 2 + 4 + 8 + 16 + … merupakan deret divergen naik. Nilainya menyebar menuju tak hingga sangat besar. Jadi, jumlah deret 2 + 4 + 8 + 16 + … adalah ∞.
2) Barisan Konvergen
Deret konvergen adalah derat yang memiliki pola memusat (tidak menyebar). Derer ini cenderung semakin mengecil dan menuju suatu nilai. Karakteristiknya memiliki rasio antar ‒1 sampai 1. Misalnya deret yang memiliki rasio r = 1/2, r = ‒1/3, dan lain sebagainya.
Contoh deret geometri konvergan adalah 8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4, … atau ‒12 + 4 ‒4/3 + 4/9 + …. Rumus jumlah deret geometeri tak hingga dari barisan konvergen adalah S∞ = a/(1 – r).
Contoh soal:
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 27 – 9 + 3 – 1/3 + …!
Jawab:
Deret geometri memiliki suku pertama a = 27 dan rasio r = -1/3.
Sehingga,
Jadi, jumlah deret geometri tak hingga 27 – 9 + 3 – 1/3 + … adalah 201/4.
Baca Juga: Rumus Sn Deret Aritmatika dan Geometri
Contoh Soal dan Pembahasan
Latihan soal menghitung jumlah deret geometri tak hingga ada di bawah!
Soal 1
Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ….
A. 36 meter
B. 38 meter
C. 45 meter
D. 47 meter
E. 51 meter
Pembahasan:
Llintasan yang dilalui bola akan membentuk deret geomteri. Rasio deretnya adalah r = 2/3.
Ada dua lintasan yang dilalui bola yaitu saat naik dan turun. Gambaran lintasan yang dilalui bola nampak seperti berikut.
Lintasan yang dilalui bola setelah memantul mebentuk deret 6 + 4 + 8/3 + …. Jumlah deretnya dihitung menggunakan rumus S∞.
Rumus yang digunakan:
Panjang lintasan yang dilalui bola:
Jadi, panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah 45 meter.
Jawaban: C
Baca Juga: Induksi Matematika
Soal 2
Jumlah tak hingga dari deret geometri 96 – 48 + 24 – 12 + … adalah ….
A. 192
B. 128
C. 64
D. 48
E. 32
Pembahasan:
Deret 96 ‒ 48 + 24 ‒ 12 + … merupakan deret geometri konvergen. Rasio deretnya adalah r = ‒1/2 dan suku pertama deretnya adalah a = 96.
Rumus jumlah deret tak hingga untuk barisan konvergen:
Menghitung jumlah deret geometri tak hingga:
= 32 × 2 = 64
Jadi, jumlah tak hingga dari deret geometri 96 ‒ 48 + 24 ‒ 12 + … adalah 64.
Jawaban: C
Baca Juga: Cara Menentukan Satuan Bilangan Berpangkat Banyak
Sekian pembahasan rumus jumlah deret geometri tak hingga untuk barisan divergen atau konvergen. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
