Cara Menentukan Gradien dan Rumusnya +Contoh Soal

Gradien adalah nilai kemiringan garis lurus. Lambang gradien dituliskan menggunakan huruf m. Cara menentukan gradien cukup mudah. Jika tahu caranya. Bagaimana cara menentukan gradien garis lurus ada di bawah.

Nilai gradien garis y = 2x + 3 adalah m = 2. Nilai gradien garis y = −3x + 2 adalah m = −3. Dari sini dapat disimpulkan bahwa rumus gradien garis lurus y = mx + c adalah koefisien x (bilangan di depan variabel x).

Rumus gradien tersebut hanya berlaku untuk garis lurus yang memiliki persamaan y = mx + c. Namun tidak berlaku untuk menentukan gradien garis lurus Ax + By + C = 0. Rumus gradien garis tersebut juga berlaku untuk menentukan gradien garis lurus yang diketahui melalui dua titik.

Lebih banyak cara menentukan gradien garis ada di bawah.

Daftar isi:

Baca Juga: Rumus Persamaan Garis Lurus

Rumus Gradien Garis Lurus

Nilai gradien garis lurus secara umum menyatakan perbandingan perubahan sumbu vertikal dengan sumbu horizontal. Untuk perubahan sumbu vertikal = Δy dan perubahan sumbu horizontal = Δx. Rumus gradien sama dengan m = Δy/Δx.

Garis lurus horizontal memiliki gradien m = 0. Sementara gradien garis lurus vertikal adalah m = ∞.

Untuk garis yang condong ke kanan memiliki nilai gradien positif dan garis yang condong ke kiri memiliki nilai gradien negatif. Garis lurus yang condong ke kanan dengan kemiringan 45o memiliki gradien m = 1. Sedangkan garis lurus yang condong ke kiri dengan kemiringan 45o memiliki nilai gradien m = −1.

Cara menentukan gradien garis lurus

Baca Juga: Persamaan Garis yang Saling Sejajar

Cara Menentukan Gradien Garis Lurus

Ada empat cara berbeda untuk menentukan gradien. Keempat cara menentukan gradien garis lurus ada di bawah.

1) Gradien Garis Lurus dari Gambar

  • Ketentuan umum:
    • Garis condong ke kanan → nilai gradien positif (+)
    • Garis condong ke kiri → nilai gradien negatif (–)

Besar nilai gradien m sama dengan perbandingan jarak sumbu y (Δy) dengan jarak sumbu x (Δy) dari perpotongan garis yang melalui garis lurus. Contohnya seperti berikut.

Sebagai contoh, perhatikan cara menentukan gradien garis lurus dari gambar berikut.

Diketahui garis condong ke kanan sehingga nilai m = positif. Nilai Δy = 2 dan Δx = 4, sehingga gradien garisnya adalah m = 2/4 = 1/2.

2) Gradien Garis Lurus y = mx + c

Gradien garis yang memiliki persamaan y = mx + c adalah m. Nilai m merupakan bilangan di depan variabel x.

Sebagai contoh, sebuah garis lurus dinyatakan dalam persamaan y = 2x + 4. Gradien garis lurus tersebut adalah m = 2.

Untuk garis dengan persamaan qy = px + c. Rumus gradiennya adalah koefisien x per koefisien y. Sehingga, gradien garis lurus qy = px + c adalah m = p/q.


Gradien garis qy = px + c:

m =
koef. xkoef. y
=
p q


Sebagai contoh, garis lurus 2y = 3x + 5 memiliki nilai gradien m = 3/2.

Baca Juga: Cara Mencari Persamaan Garis yang Saling Tegak Lurus

3) Gradien Garis Lurus Ax + By + C = 0

Persamaan garis dapat dinyatakan dalam Ax + By + C = 0. Gradien garis lurus Ax + By + c = 0 adalah m = –A/B.

Sebagai contoh, garis lurus 3x + 2y – 6 = 0. Nilai A pada persamaan garis tersebut adalah 3 (A = 3). Sedangkan nilai B pada persamaan garis tersebut adalah 2 (B = 2). Jadi, gradien garis lurus 3x + 2y – 6 = 0 adalah m = –3/2 = –11/2 .

4) Gradien Garis Lurus yang Melalui 2 Titik

Misalkan diketahui garis yang melalui dua titik yaitu P(x1, y1) dan Q(x2, y2). Rumus gradien garis lurus yang diketahui melalui dua titik adalah m = y2-y1/x2-x1.

Bagaimana penggunaan rumus di atas untuk mencari nilai gradien dari garis lurus yang diketahui melalui 2 titik terdapat pada contoh 2 di bawah.

Contoh Soal Cara Menentukan Gradien

Pembahasan soal gradien ada di bawah.

Contoh 1 – Contoh Soal Menentukan Gradien

Sebuah tangga bersandar pada dinding tembok (seperti pada gambar).

Kemiringan tangga terhadap dinding tembok adalah ….
A. 4/3
B. 5/4
C. 4/5
D. 3/4

Pembahasan:
Rumus gradien garis lurus yang diberikan dalam gambar dicari tahu dengan mengamati kemana arah condong garis serta perbandingan sumbu vertikal (y) dan sumbu horizontal (x).

Untuk menentukan kemiringan tangga tersebut, kita perlu mencari tinggi tembok terlebih dahulu. Gunakan teorema Pythagoras untuk mencari tinggi tembok.

Tangga condoh ke arah kanan, sehingga nilai gradien akan positif.

Dari soal diperoleh bahwa jarak sumbu x (horizontal) adalah Δx = 6 m. Sementara jarak sumbu y (vertikal) belum diktahui. Jarak sumbu vertikal sama dengan jarak antara ujung tangga bagian atas sampai ke tanah (Δy = tinggi tembok).

Menghitung tinggi tembok:

ttembok = √(102 – 62)

ttembok = √(100 – 36) = √64 = 8 m

Dari hasil perhitungan diperoleh jarak sumbu y (vertikal) adalah Δy = 8 m. Jadi, kemiringan tangga terhadap dinding tembok adalah m = Δy/Δx = 8/6 = 4/3.

Jawaban: A

Contoh 2 – Gradien garis Lurus yang melalui 2 titik

Gradien dari sebuah garis yang melalui titik P(1, 3) dan Q(5, 7) adalah ….
A. 2
B. 1
C. 0
D. –1

Pembahasan:
Rumus gradien saat diketahui garis yang melalui dua titik.

m =
y2 ‒ y1x2 ‒ x1


Sehingga,

m =
7 ‒ 35 ‒ 1
=
4 4
= 1


Jadi, gradien dari sebuah garis yang melalui titik P(1, 3) dan Q(5, 7) adalah m = 1.

Jawaban: B

Contoh 3 – Gradien garis yang nilainya sama

Diketahui:
(i) y = 3x – 10
(ii) x + 3y = 6
(iii) 3x – y + 12 = 0
(iv) 3x + y = 6

Pasangan garis yang mempunyai gradien sama adalah ….
A. (i) dan (ii)
B. (i) dan (iii)
C. (ii) dan (iii)
D. (ii) dan (iv)

Pembahasan:
Cara menentukan gradien garis lurus ada di bawah.

(i) y = 3x – 10 → gunakan cara 2)

m = koefisien x = 3

(ii) x + 3y = 6 → gunakan cara 3)

m = –A/B = –1/3

(iii) 3x – y + 12 = 0 → gunakan cara 3)

m = –A/B = –3/(–1) = 3

(iv) 3x + y = 6 → gunakan cara 3)

m = –A/B = –3/1 = –3

Diperoleh gradien garis y = 3x – 10 adalah m = 3 dan gradien garis 3x – y + 12 = 0 adalah m = 3. Jadi, pasangan garis yang mempunyai gradien sama adalah (i) y = 3x – 10 dan (iii) 3x – y + 12 = 0.

Jawaban: B

Sekialn ulasan cara menentukan gradien garis lurus beserta contohnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Rumus Jarak Titik ke Garis

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

8 thoughts on “Cara Menentukan Gradien dan Rumusnya +Contoh Soal”

Exit mobile version