Deret aritmatika dan deret geometri adalah dua jenis deret bilangan yang membentuk suatu pola tertentu. Perbedaan dua jenis bilangan tersebut dibedakan berdasarkan bentuk pola yang dibentuk. Penjumlahan setiap suku barisan bilangan akan membentuk sebuah deret yang dapat dihitung dengan rumus jumlah n suku pertama (Sn).
Misalnya pada sebuah deret bilangan yang terdiri dari 8 bilangan yaitu 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. Jumlah kedelapan bilangan tersebut dapat dihitung satu per satu, namun cara itu akan memakan waktu lama sehingga tidak dianjurkan. Sebagai penggantinya, perhitungan jumlah 8 suku pertama (S8) untuk deret tersebut dapat dihitung dengan rumus Sn untuk deret bilangan yang sesuai.
Pada barisa bilangan 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 merupakan barisan aritmatika yang ditandai dengan beda b = 5 antar suku ke-n. Sehingga jumlah kedelapan suku pertama untuk barisan bilangan tersebut dapat dihitung dengan rumus Sn deret aritmatika.
Ada dua macam rumus Sn yaitu rumus Sn untuk deret Aritmatika dan rumus Sn untuk deret geometeri. Bagaimana bentuk rumus jumlah n suku pertama deret Aritmatika? Bagaimana bentuk rumus jumlah n suku pertama deret Geometri? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
Baca Juga: Kumpulan Rumus-Rumus untuk Barisan Aritmatika dan Geometri
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah barisan bilangan yang dapat dikenali dengan adanya beda (b) yang sama antara suku ke-n dengan suku n+1. Contoh deret aritmatika adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya di mana pada deret aritmatika tersebut terdapat beda b = 1 antara suku ke n dengan suku ke-(n+1). Contoh lain untuk deret aritmatika adalah 3, 8, 13, 18, 23, dan seterusnya (memiliki beda b = 5).
Untuk menjumlahkan bilangan-bilangan yang membentuk suatu deret aritmatika dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika. Pada deret aritmatika yang terdiri dari delapan bilangan (n = 8) maka jumlah delapan bilangan tersebut dapat diketahui dengan rumus S8 deret aritmatika.
Pada deret aritmatika yang terdiri dari n bilangan maka jumlah n suku pertama dapat diketahui dengan rumus Sn deret aritmatika. Bentuk rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang biasa digunakan ada dua. Bentuk pertama rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = n/2(a + Un), dan bentuk keduanya adalah Sn = n/2[2a + (n-1)b].
Baca Juga: Aritmatika Sosial
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Deret Geometri
Deret geometeri adalah barisan bilangan yang dapat dikenali melalui ladanya rasio (r) yang sama antara suku ke-n dengan suku ke-(n+1). Contoh deret geometri adalah 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya di mana pada deret geometri tersebut terdapat rasio r = 2 antara suku ke-n dengan suku ke-(n+1).
Penjumlahan bilangan-bilangan yang membentuk suatu deret geometri dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri. Pada deret geometri yang terdiri dari delapan bilangan (n = 8), jumlah delapan bilangan tersebut dapat diketahui dengan rumus S8 deret geometri.
Pada deret aritmatika yang terdiri dari n bilangan maka jumlah n suku pertama dapat diketahui dengan rumus Sn deret geometri. Bentuk rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang biasa digunakan ada dua.
Bentuk pertama adalah rumus jumlah n suku pertama untuk deret geometri turun (rasio kurang dari 1). Dan bentuk kedua adalah rumus jumlah n suku pertama untuk deret geometri naik (rasio lebih dari satu).
Baca Juga: Barisan dan Deret
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idshcool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selemat Berlatih!
Contoh 1 – Penggunaan Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh beberapa informasi seperti berikut.
- Barisan aritmetika
- Suku ketiga: U3 = 36
a + 2b = 36
2b = 36 ‒ a
b = 18 ‒ 1/2a - Jumlah suku kelima dan ketujuh: U5 + U7 = 144
(a + 4b) + (a + 6b) = 144
2a + 10b = 144
a + 5b = 72
Menentukan nilai a dengan cara substitusi persamaan b = 18 ‒ 1/2a ke persamaan a + 5b = 72 seperti yang dilakukan pada cara berikut.
a + 5b = 72
a + 5(18 ‒ 1/2a) = 72
a + 90 ‒ 5/2a = 72
a ‒ 5/2a = 72 ‒ 90
‒3/2a = ‒18
a = ‒18 × ‒2/3 = 12
Menentukan nilai b:
b = 18 ‒ 1/2a
b = 18 ‒ 1/2 × 12
b = 18 ‒ 6 = 12
Menghitung jumlah sepuluh suku pertama (S10):
S10 = 10/2(2×12 + 9×12)
S10 = 5(24 + 108)
S10 = 5 × 132 = 660
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660.
Jawaban: B
Contoh 2 – Penggunaan Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Pembahasan:
Bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi KPK dari 3 dan 4 yaitu 12. Bilangan kelipatan 12 pertama yang berada antrara 200 dan 450 adalah 204. Sementara bilangan kelipatan 12 terakhir yang berada antara 200 dan 450 adalah 444.
Berdasarkan soal maka dapat dibentuk deret aritmatika dengan beda b = 12, suku pertama a = 204, dan suku terakhir Un = 444. Deret matematika tersebut adalah 204 + 216 + 228 + … + 444.
Pertama, perlu untuk mengetahui banyak suku bilangan (n) untuk bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450.
Un = a + (n ‒ 1)b
444 = 204 + (n ‒ 1) × 12
444 ‒ 204 = 12n ‒ 12
240 + 12 = 12n
12n = 252
n = 252/12 = 21
Selanjutnya, jumlah 21 suku pertama untuk deret aritmatika 204 + 216 + 228 + … + 444 dapat dihitung seperti cara berikut.
Jadi, jumlah semua bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450 adalah 6.804
Jawaban: B
Contoh 3 – Penggunaan Rumus Suku ke-n (Un)
Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah ….
A. 640 bakteri
B. 3.200 bakteri
C. 6.400 bakteri
D. 12.800 bakteri
E. 32.000 bakteri
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh beberapa informasi seperti berikut.
- Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat (r = 2) setiap lima menit (t = 5).
- Misalkan banyak bakteri saat t = 0 menit adalah U1 = a , di mana n = t/5 + 1 = 0/5 + 1 = 0 + 1 = 1.
- Banyak bakteri saat lima menit (n = t/5 + 1 = 5/5 + 1 = 1 + 1= 2) adalah U2 = ar = 2a
- Pada waktu lima belas menit pertama (n = t/5 + 1 = 15/5 + 1 = 3 + 1 = 4) banyaknya bakteri ada 400.
- Suku ke-(n = 4): U4 = ar4-1 = ar3 = 400
Menentukan n untuk waktu tiga puluh lima menit pertama:
n = t/5 + 1
n = 30/5 + 1
n = 6 + 1 = 7
Menghitung banyaknya bakteri untuk n = 7:
U7 = ar7-1 = ar6
U7 = ar3 × r3
U7 = 400 × 23 = 400 × 8 = 3.200
Jadi, banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah 3.200 bakteri.
Jawaban: B
Demikianlah tadi ulasan rumus jumlah n suku pertama (Sn) untuk deret Aritmatika dan Geometri. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Pola Bilangan 2 Tingkat
Pembahasan Contoh 2 tidak ada ya min?
Halo Quadrad, sudah ditambahkan ya… terima kasih atas kunjungan dan komentarnya!