Sifat-Sifat Notasi Sigma (Matematika Kelas XI) dan Contoh Soalnya

Notasi sigma adalah simbol yang digunakan untuk menjumlahkan sejumlah bilangan yang membentuk suatu pola bilangan. Simbol untuk notasi sigma adalah Ʃ. Untuk penjumlahan suku ke-i sampai dengan suku ke n dapat dinyatakan dalam notasi Ʃni=1 Ui = U1 + U2 + U3 + … + Un. Sebaliknya juga berlaku, deret U1 + U2 + U3 + … + Un dapat dinyatakan dalam notasi Ʃni=1 Ui.

Cakupan materi notasi sigma memiliki hubungan dengan materi barisan dan deret. Di mana rumus-rumus pada barisan dan deret aritmatika atau geometri berlaku di sini. Sobat idschool dapat mencari tahu bagaimana penggunaan rumus dan sifat notasi sigma melalui ulasan di bawah.

Bentuk Notasi Sigma

Penjumlahan bilangan-bilangan dengan suatu pola tertentu akan membentuk sebuah deret. Sebagai contoh, deret dari barisan adalah U1, U2, U3, …, Un adalah U1 + U2 + U3 + … + Un. Di mana U1, U2, U3, …, Un adalah suku-suku bilangan yang membentuk suatu pola tertentu.

Secara umum, bentuk deret U1 + U2 + U3 + … + Un dapat dinyatakan dalam sebuah notasi sigma yaitu U1 + U2 + U3 + … + Un = Ʃni=1 Ui.

Misalnya pada penjumlahan 20 bilangan asli ganjil yaitu 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39. Notasi sigma yang menyatakan penjumlahan 20 bilangan asli ganjil pertama adalah Ʃni=1 (2i − 1).

Contoh bagaimana melakukan operasi bilangan dengan notasi Ʃ terdapat pada penyelesaian soal berikut.

Soal:
Hasil dari Ʃ10i=1 (2i + 3) adalah ….

Jawab:
Bentuk Ʃ10i=1 (2i + 3) dapat dinyatakan dalam sebuah deret yang terdiri dari penjumlahan sepuluh bilangan.

Suku pertama diperoleh dengan cara substitusi nilai i = 1 pada rumus 2i + 3. Suku kedua diperoleh dengan cara substitusi nilai i = 2 pada rumus 2i + 3. Begitu seterusnya sampai i = n = 10.

iUi
1U1 = 2(1) + 3 = 5
2U2 = 2(2) + 3 = 7
10U10 = 2(10) + 3 = 23

Dari hasil perhitungan dapat diperoleh deret Ʃ10i=1 (2i + 3) = 5 + 7 + 9 + … + 23. Dari deret tersebut dapat diketahui bahwa bilangan-bilangan membentuk deret aritmatika karena setiap kenaikan sukunya memiliki nilai beda yang sama yaitu 2.

Hasil dari Ʃ10i=1 (2i + 3) sama dengan jumlah 10 suku pertama dari deret 5 + 7 + 9 + … + 23. Di mana suku pertama deret aritmatika tersebut adalah U1 = a = 5 dan suku kesepuluhnya adalah U10 = 23.

Rumus Sn deret Aritmatika:

Sn  
=
n2
(a + Un)

Sehingga, Ʃ10i=1 (2i + 3) = S10 = jumlah 10 suku pertama deret aritmatika 5 + 7 + 9 + … + 23 dapat dihitung seperti langkah penyelesaian berikut.

Menentukan nilai S10:

S10  
=
102
(5 + 23)
S10  
=
102
× 28 =
5 × 28 = 140

Jadi, hasil dari Ʃ10i=1 (2i + 3) = 5 + 7 + 9 + … + 23 = 140.

Baca Juga: Rumus dan Materi Induksi Matematika

Sifat-Sifat Notasi Sigma

Sifat-sifat notasi sigma merupakan persamaan yang menjadi rumus notasi Ʃ. Rumus tersebut digunakan untuk melakukan operasi hitung bilangan dengan notasi sigma.

Ada beberapa sifat notasi sigma yang dapat digunakan untuk melakukan operasi hitung. Beberapa sifat terdapat pada persamaan-persamaan berikut.

Sifat-sifat notasi sigma:

Bagaimana contoh penggunaan beberapa sifat notasi sigma di atas terdapat pada operasi-operasi hitung berikut.

  • Ʃ6i=1 (2n − 1) = ….
    Ʃ6i=1 (2n − 1) = (2×1 − 1) + (2×2 − 1 + (2×3 − 1) + (2×4 − 1) + (2×5 − 1) + (2×6 − 1)
    = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
    Jadi, Ʃ6i=1 (2n − 1) = 36

  • Ʃ4i=1 (n + 3) = ….
    Ʃ4i=1 (n + 3) = Ʃ4i=1 n + Ʃ4i=1 3
    = (1 + 2 + 3 + 4) + 4×3
    = 10 + 12
    = 22
    Jadi, Ʃ4i=1 (n + 3) = 22

  • Ʃ8i=3 (3n + 7) = ….
    Ʃ8i=3 (3n+7) = Ʃ8−2i=3−1 (3(n+2)+7)
    = Ʃ6i=1 (3n + 6 + 7) = Ʃ6i=1 (3n + 13)
    = Ʃ6i=1 3n + Ʃ6i=1 13
    = (3×1 + 3×2 + 3×3 + 3×4 + 3×5 + 3×6) + (13×6)
    = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 78 = 123
    Jadi, Ʃ8i=3 (3n + 7) = 123

Baca Juga: Rumus Barisa Aritmatika dan Geometri

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman materi di atas. Setiap contoh soal yang diberikan terdapat pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Menentukan notasi sigma yang ekuivalen

Notasi sigma untuk p10 + p9q + p8q2 + … + q10 adalah ….
A. Ʃ10i=0 p10-i qi-1
B. Ʃ11i=1 p11-i qi-1
C. Ʃ10i=1 pi q10-i
D. Ʃ11i=1 pi-1 q11-i
E. Ʃ10i=1 pi qi

Pembahasan:
Pola deret pada soal adalah pangkat p berkurang satu dan pangkat q bertambah 1 untuk setiap kenaikan suku. Dengan suku pertama deret adalah p10 = p10 • q0, untuk suku kedua deret menjadi p10-1 • q1 = p9 • q.

Perhatikan bahwa pangkat p membentuk barisan i = 10, 9, 8, … 0. Sebaliknya, pangkat q membentuk barisan i = 0, 1, 2, 3, …, 10.

Sehingga,
p10 + p9q + … + q10 = Ʃ10i=0 p10 – i qi
= Ʃ10+1i=0+1 p10–(i–1) qi–1
= Ʃ11i=1 p10i+1 qi–1
= Ʃ11i=1 p11i qi–1

Jadi, deret p10 + p9q + p8q2 + … + q10 dapat dinyatakan dalam notasi Ʃ11i=1 p11-i qi-1 .

Jawaban: B

Contoh 2 – Menentukan notasi Ʃ yang ekuivalen

Notasi sigma yang tepat untuk menyatakan jumlah 3 + 6 + 9 + … + 69 adalah …
A. Ʃ22n=0 3n
B. Ʃ22n= 3n
C. Ʃ23n=1 3n
D. Ʃ22n=1 3n
E. Ʃ23n=1 3n

Pembahasan:
3 + 6 + 9 + … + 69
= 3(1 + 2 + 3 + … + 23)
= 3 ∙ Ʃ23n=1 n
= Ʃ23n=1 3n

Jadi, notasi sigma yang tepat untuk menyatakan jumlah 3 + 6 + 9 + … + 69 adalah Ʃ23n=1 3n.

Jawaban: C

Contoh 3 – Penggunaan Sifat Notasi Ʃ

Jika Ʃ4i=1 xi = 3 maka Ʃ6i=3 (1 − xi – 2) = ….
A. 1
B. 2
C. x
D. 2x
E. 3x

Pembahasan:
Hasil dari persamaan Ʃ6i=3 (1 − xi – 2) dapat diselesaikan dengan cara berikut.

Jadi, Ʃ6i=3 (1 − xi – 2) = 1.

Jawaban: A

Demikianlah tadi ulasan rumus dan sifat notasi sigma serta contoh soal dan pembahasannya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Exit mobile version