Pembuktian Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Dua buah tali busur AC dan BD terdapat pada sebuah lingkaran dengan titik pusat O. Kedua tali busur tersebut berpotongan di dalam lingkaran pada titik P. Terbentuk dua pasang sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran yaitu ∠CPD, ∠APB, ∠APD, dan ∠BPC.

Besar ∠APB sama dengan besar ∠CPD yaitu m∠APB = m∠CPD = ¹/₂(m∠AOB + m∠COD). Di mana ∠AOB adalah sudut pusat lingkaran yang menghadap busur AB dan ∠COD adalah sudut pusat lingkaran yang menghadap busur CD.

Sedangkan besar ∠APD sama dengan besar ∠BPC adalah m∠APD = m∠BPC = ¹/₂ (m∠AOD + m∠BOC). Di mana ∠AOD adalah sudut pusat lingkaran yang menghadap busur AD dan ∠BOC adalah sudut pusat lingkaran yang menghadap busur BC.

Untuk membuktikan dari mana rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran membutuhkan beberapa sifat sudut. Sifat besar sudut yang dibutuhkan dalam pembuktian rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah,

• Besar sudut pusat = 2 × besar sudut keliling
• Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar
• Sudut lurus memiliki besar 180^o
• Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180^o

Baca Juga: Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Bagaiman pembuktian rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran terdapat pada langkah-langkah pembuktian berikut.

Pembuktian rumus m∠APB = m∠CPD = ¹/₂(m∠AOB + m∠COD)

Pertama, buatlah garis bantu AD sehingga terbentuk segitiga APD. Bentuk garis bantu tersebut berupa tapi busur AD yang nampak seperti pada lingkaran di bawah.

Berdasarkan gambar di atas dapat diperoleh beberapa kesimpulan berikut.

Sudut CAD adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur CD. Sudut pusat yang menghadap busur CD pada lingkaran tersebut adalah sudut COD. Sehingga antara besar sudut CAD dan COD memenuhi hubungan persamaan m∠CAD = ¹/₂m∠COD.

Persamaan (i): 
m∠CAD = ¹/₂ m∠COD

Untuk sudut keliling lingkaran ADB menghadap busur AB. Dan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur AB adalah AOB. Antara besar sudut ADB dan AOB memenuhi persamaan m∠ADB = ¹/₂m∠AOB.

Persamaan (ii): 
m∠ADB = ¹/₂m∠AOB

Selanjutnya, perhatikan ΔAPD! Diketahui bahwa jumlah sudut dalam segitita = 180^o sehingga jumlah besar ∠PAD, ∠APD, dan ∠ADP adalah 180^o.

m∠PAD + m∠APD + m∠ADP = 180^o
m∠CAD + m∠APD + m∠ADB = 180^o

Diketahui dua persamaan:
(i) m∠CAD = ¹/₂ m∠COD
(ii) m∠ADB = ¹/₂m∠AOB

Substitusi persamaan (i) dan (ii) pada persamaan m∠CAD + m∠APD + m∠ADB = 180^o seperti berikut.

m∠CAD + m∠APD + m∠ADB = 180^o
1/₂m∠COD+m∠APD+¹/₂m∠AOB = 180^o
m∠APD = 180^o‒¹/₂m∠COD‒¹/₂m∠AOB
m∠APD = 180^o ‒ ¹/₂(m∠COD + m∠AOB)

Perhatikan garis BD adalah sebuah garis lurus. Sehingga besar sudut BOD sama dengan 180^o.

Sehingga,
m∠APD + m∠APB = m∠BOD
m∠APD + m∠APB =180^o
∠APD = 180^o ‒ ∠APB

Substitusi persamaan ∠APD = 180^o ‒ ∠APB ke persamaan m∠APD = 180^o ‒ ¹/₂(m∠COD + m∠AOB) untuk mendapat persamaan besar ∠APD.

180^o ‒ ∠APB = 180^o ‒ ¹/₂(m∠COD + m∠AOB)
‒∠APB = ‒¹/₂(m∠COD + m∠AOB)
∠APB = ¹/₂(m∠COD + m∠AOB)

Diperoleh hasil akhir besar sudut APB dan BPC sesuai dengan persamaan-persamaan berikut.

• m∠APB = ¹/₂ (m∠COD + m∠AOB)
• m∠CPD = m∠APB (bertolak belakang)
  m∠CPD = ¹/₂ (m∠COD + m∠AOB)

Baca Juga: Sifat sudut yang dibentuk oleh segi empat tali busur pada lingkaran

Pembuktian rumus m∠APD = ∠BPC = ¹/₂ (m∠AOD + m∠BOC )

Dengan cara yang sama seperti langkah-langkah di atas, dapat diperoleh persamaan rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran yang lainnya.

Cara membuktikan rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran untuk dua sudut lainnya dilakukan seperti langkah-langkah berikut.

Pertama, buat garis bantu AB yang menghubungkan titik A dan B pada lingkaran. Sehingga terbentuk tali busur AB dan segitiga APB.

Dari gambar dapat diketahui bahwa besar ∠BAC adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur BC. Sudut pusar lingkaran yang menghadap busur BC adalah ∠BOC. Sehingga antara besar ∠BAC dan ∠BOC memenuhi persamaan m∠BAC = ¹/₂m∠BOC.

Persamaan (1): 
m∠BAC = ¹/₂m∠BOC

Dari gambar juga dapat diketahui bahwa besar ∠ABD adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur AD. Sudut pusar lingkaran yang menghadap busur AD adalah ∠AOD. Sehingga antara besar ∠ABD dan ∠AOD memenuhi persamaan m∠ABD = ¹/₂m∠AOD.

Persamaan (2): 
m∠ABD = ¹/₂m∠AOD

Selanjutnya, perhatikan ΔAPB! Jumlah ketiga sudut dalam segitiga tersebut memenuhi persamaan m∠BAP + m∠ABP + m∠APB = 180^o.

Sehingga,
m∠BAP + m∠ABP + m∠APB = 180^o
m∠BAC + m∠ABD + m∠APD = 180^o

Diketahui dua persamaan:
(1) m∠BAP = ¹/₂m∠BOC
(2) m∠ABD = ¹/₂m∠AOD

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan m∠BAC + m∠ABP + m∠APD = 180^o untuk mendapatkan persamaan besar ∠APB.

m∠BAC + m∠ABP + m∠APD = 180^o
1/₂m∠BOC+¹/₂m∠AOD+m∠APD = 180^o
m∠APD = 180^o ‒ ¹/₂(m∠AOD+m∠BOC)

Jumlah besar ∠APB dan besar ∠APD sama dengan besar sudut lurus (180^o).

Maka,
m∠APB + m∠APD = 180^o
m∠APD = 180^o ‒ m∠APB

Substitusi persamaan m∠APD = 180^o ‒ m∠APB pada persamaan m∠APD = 180^o ‒ ¹/₂(m∠AOD + m∠BOC) untuk menyelesaikan langkah pembuktian.

180^o ‒ m∠APB = 180^o ‒ ¹/₂(m∠AOD + m∠BOC)
‒m∠APB = ‒¹/₂(m∠AOD + m∠BOC)
m∠APB = ¹/₂(m∠AOD + m∠BOC)

Hasil pada langkah terakhir membuktikan rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.

• m∠APD = ¹/₂(m∠AOD + m∠BOC)
• m∠BPC=m∠APD (bertolak belakang)
  m∠BPC = ¹/₂(m∠AOD + m∠BOC)

Demikianlah tadi ulasan langkah pembuktian rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!