Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Suatu Lingkaran

Sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran memiliki hubungan yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan. Hubungan tersebut terdapat pada sudut pusat dan keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama. Di mana, hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran dinyatakan dalam persamaan sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling. Dengan catatan kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama.

Jika sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran tidak menghadap busur yang sama maka hubungan tersebut tidak berlaku. Busur lingkaran adalah bagian lingkaran yang melengkung yang panjangnya merupakan bagian dari panjang keliling lingkaran.

Bagian mana yang disebut dengan sudut pusat lingkaran? Bagian mana yang disebut sudut keliling lingkaran? Apa hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran yang menghadap busur sama? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Sudut Pusat pada Suatu Lingkaran
• Sudut Keliling pada Suatu Lingkaran
• Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling
• Contoh Soal Sudut Pusat dan Keliling Lingkaran dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling
  • Contoh 2 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling
  • Contoh 3 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling 2

Sudut Pusat pada Suatu Lingkaran

Sudut pusat adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik yang terletak pada busur lingkaran. Misalkan lingkaran dengan pusat O dan dua titik A dan B terletak pada busur lingkaran, maka sudut terkecil yang dibetuk dari ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB.

Contoh lain, lingkaran dengan pusat O dan dua titik A dan B terletak pada busur lingkaran, maka sudut terkecil yang dibetuk dari ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD.

Gambar di bawah akan menunjukkan letak sudut pusat secara lebih jelas.

 

 
Baca Juga: Jumlah Sudut-Sudut pada Segitiga

Keterangan:

• ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB
• ∠COD merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD

Sudut Keliling pada Suatu Lingkaran

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada busur lingkaran. Sebagai contoh, terdapat tiga buah titik yaitu titik A, B, dan C yang terletak pada busur lingkaran dengan pusat O. Dua tali busur dibentuk dengan menghubungkan titik A dengan C dan B dengan C. Sehingga dibentuk sebuah sudut dari pertemuan dua tali busur tersebut yaitu ∠BCA yang menghadap busur AB.

Contoh lain, titik X, Y, dan Z terletak pada busur lingkaran dengan pusat O. Dua tali busur dibentuk dengan menghubungkan titik X dengan Z dan Y dengan Z. Sehingga terbentuk sebuah sudut dari pertemuan dua tali busur tersebut yaitu ∠XZY yang menghadap busur XY.

Perhatikan gambar berikut untuk mengetahui letak sudut keliling dalam sebuah ligkaran.

 

 

Baca Juga: Garis Singgung Lingkaran bagian Dalam dan Luar

Keterangan:

• ∠BCA merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB
• ∠XZY merupakan sudut pusat yang menghadap busur XY

Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Persamaan yang menyatakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut keliling. Atau hubungan juga dapat dinnyatakan dalam persamaan sudut keliling sama dengan setengah sudut pusat. Sehingga, dengan mengetahui besar sudut pusat dari suatu lingkaran dapat diketahi besar setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat.

Sedangkan untuk setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama pula.

Perhatikan penjelasan hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran seperti gambar di bawah.

Perhatikan bahwa pada keliling lingkaran tersebut terdapat dua sudut keliling dan satu sudut pusat. Ketiga sudut yang terbentuk pada lingkaran tersebut sama-sama menghadap busur yang sama. Sehingga, antara ketiga sudut tersebut dapat diperoleh hubungan yang dinyatakan seperti persamaan-persamaan di bawah.

• Hubungan besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama:
  m∠AOB = 2× m∠APB = = 2× m∠AQB
• Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama:
  m∠APB = ¹/₂× m∠AOB
  m∠AQB = ¹/₂× m∠AOB
• Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama:
  m∠APB = m∠AQB

Baca Juga: Lingkaran (Unsur-Unusr, Keliling, dan Luas)

Contoh Soal Sudut Pusat dan Keliling Lingkaran dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman basahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Perhatikan gambar berikut!

Jika besar ∠AOB adalah 40^o maka besar ∠ACD adalah ….
A. 70^o
B. 72^o
C. 80^o
D. 83^o
 
Pembahasan:

Garis DB merupakan garis lurus (Ingat!!! Besar sudut pada garis lurus adalah 180^o), sehingga dapat diperoleh persamaan seperti berikut.

∠AOD + ∠AOB = 180^o
∠ AOD + 40^{o} = 180^o
Jadi, besar ∠AOD = 180^o ‒ 40^o = 140^o

Selanjutnya, perhatikan bahwa ∠ACD dan ∠AOD berturut-turut merupakan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu AD, sehingga

∠ACD = ¹/₂ × ∠AOD
∠ACD = ¹/₂ × 140^o = 70^o

Jadi, besar ∠ACD adalah 70^o.

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ∠ABE, ∠ACE, dan ∠ADE merupakan tiga sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Sehingga ketiga sudut tersebut memiliki besar yang sama. Misalka besar ketiga sudut sama dengan x maka besar ketiga sudut tersebut dapat dihitung melalui perhitungan di bawah.

m∠ABE + m∠ACE + m∠ADE = 102^o
x + x + x = 102^o
3x = 102^o
x = 102^o : 3 = 34^o

Gambar pada soal menunjukkan bahwa ∠AOE adalah sudut pusat yang menghadap busur sama dengan ∠ABE, ∠ACE, dan ∠ADE . Sehingga, besar ∠AOE sama dengan besar dari salah sudut tersebut.

m∠AOE = 2 × ∠ABE
m∠AOE = 2 × 34^o = 68^o

Jadi, besar ∠AOE adalah 68^o

Jawaban: D

Contoh 3 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling 2

Perhatikan gambar lingkaran di bawah!

Jika besar ∠OBC adalah 65^o maka besar ∠AOC adalah ….
A. 50^o
B. 65^o
C. 70^o
D. 130^o

Pembahasan:

Panjang OB = OC = jari-jari lingkaran sehingga segitiga BOC adalah segitiga sama kaki. Besar sudut ∠OBC = ∠OCB = 65^o.

Ingat!!! Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180^o, sehingga dapat diperoleh persamaan seperti di bawah.

∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180^o
65^o + 65^o + ∠BOC = 180^o
130^o + ∠BOC = 180^o
∠BOC = 180^o ‒ 130^o = 50^o

Perhatikan bahwa garis AC merupakan garis lurus sehingga jumlah ∠BOC dan ∠AOC sama dengan 180^o.

∠BOC + ∠AOC = 180^o
50^o + ∠AOC = 180^o
∠AOC = 180^o ‒ 50^o = 130^o
 
Trik!!! CARA CEPAT menentukan besar sudut pelurus sudut dengan diketahui besar nilai dusut keliling.

Jadi, Jika besar ∠OBC adalah 65^o maka besar ∠AOC adalah 130^o.

Jawaban: D

Sekian pembahasan mengenai sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran, serta hubungan antara sudut pusat dan keliling lingkaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Sudut pada Segi Empat Tali Busur