UTBK 2024

Butir air hujan diasumsikan berbentuk bola sempurna dan jatuh secara vertikal. Jika bidang datar ABC’D’, jejaknya akan berbentuk cakram daerah V. Sementara itu, jika jatuh ke bidang miring ABCD dengan sudut kemiringan α, jejaknya akan berbentuk elips (daerah W). Perhatikan bahwa jejak butir-butir air hujan akan menutup bidang ABCD jika jejak tersebut menutup bidang ABC’D’.

Suatu  daerah dikatakan basah jika luas daerah tersebut kurang atau sama dengan jumlah luas jejak butir air hujan. Sebagai contoh daerah seluas 9 mm² dikatakan basah jika ditutupi oleh paling sedikit 5 jejak butir air hujan dengan luas jejak tiap butirnya adalah 2 mm².

Salah satu sisi atap rumah berukuran Panjang 4 meter dan lebar 2,5 meter. Sudut kemiringan atap adalah α sehingga cos α = ²/₅.

Soal 1

Jika hujan turun dengan butir hujan memiliki diameter 1 mm, lebar terpanjang jejak butir hujan yang terbentuk di atap (sumbu mayor elips) adalah … mm.

Jawab: (D)

Gambaran jatuhnya satu butir air hujan yang jatuh ke atap:

Sehingga,

Soal 2

Jika hujan turun dengan butir hujan memiliki radius √²/_π mm, jumlah butir hujan yang diperlukan untuk membasahi atap tersebut paling sedikit adalah … butir.

(A) 1.333.334

(B) 2.000.000

(C) 2.333.334

(D) 2.500.000

(E) 3.000.000

Jawab: (B)

Dari soal diketahui bahwa jejak butir-butir air hujan akan menutup bidang ABCD jika jejak tersebut menutup bidang ABC’D’. Dengan begitu, banyak jejak butir air hujan yang menutupi atap akan sama dengan banyak jejak butir air hujan yang menutupi proyeksi atap pada bidang datar.

Misalkan proyesi bidang atap pada bidang datar adalah bidang PQRS. Maka banyak butir-butir air hujan yang membasahi atap sama dengan banyak butir air hujan yang membasai bidang PQRS.

Diperoleh ukuran bidang PQRS memiliki panjang p = 4 m dan l = 1 m. Bentuk jejak berupa cakram dari sebuah butir air hujan pada bidang PQRS berupa luas lingkaran. Sehingga, banyak jejak butir air hujan sama dengan luas bidang PQRS dibagi luas lingkaran dari jejak cakram butir air hujan.

Menghitung luas bidang PQRS

= panjang × lebar

= 4 × 1 = 4 m² = 4 × 10⁶ mm²

Menghitung luas lingkaran jejak sebuah butir air hujan

Banyak jejak butir air hujan

Soal 3

Jika hujan turun dengan butir hujan memiliki radius √²/_π mm, maka luas atap maksimal yang akan basah oleh 5.000 butir air hujan adalah … m².

(A) 0,010

(B) 0,025

(C) 0,040

(D) 0,050

(E) 0,075

Jawab: (B)

Jari-jari butir air hujan yang diketahui sama dengan pembahasan nomor 2. Dari pembahsan nomor 2 dapat diketahui bahwa luas satu butir air hujan = 2 mm².

Banyak luas bidang datar yang basah karena hujan

= 5.000 × 2

= 10.000 mm²

Misalkan n = luas atap maksimal yang basah oleh 5.000 butir air hujan. Nilai n dapat dicari menggunakan perbandingan senilai antara luas atap maksimal dan luas bidang datar yang basah karena butir air hujan dengan perbandingan cosinus sudut kemiringan atap.

L atap = 25.000 mm² = 0,025 m²

Maka, luas atap maksimal yang akan basah oleh 5.000 butir air hujan adalah 0,025 m² (B).