Persamaan Garis Singgung Parabola

Garis singgung parabola adalah sebuah garis lurus yang memotong parobola pada satu titik. Sehingga dapat dikatakan bahwa parabola dan garis singgung parabola memiliki satu titik koordinat yang sama. Secara umum, persamaan garis lurus memiliki bentuk persamaan y = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah konstanta.

Persamaan untuk menentukan persamaan garis singgung parabola meliputi tiga kondisi. Pertama adalah garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan diketahui nilai gradien garis tersebut, Kedua, adalah garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan informasi titik singgung antara garis lurus dan parabola. Ketiga adalah garis lurus yang menyinggung parabola dengan keterangan letak titik di luar parabola. Gambaran ketiga kondisi tersebut kurang lebih dapat dilihat seperti gambar di bawah.

Garis Singgung Parabola

Sebuah garis lurus yang digambarkan pada bidang kartesius memiliki kemiringan yang dinyatakan dengan nilai gradien. Garis lurus dengan gradien m yang menyinggung parabola memiliki beberapa bentuk persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung parabola. Selain itu, ada juga bentuk persamaan garis lurus yang menyinggung parabola jika diketahui satu titik potong pada parabola. Bentuk lainnya dapat juga berupa garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan beberapa informasi lain seperti garis yang saling sejajar/tegak lurus.

Bagaimana bentuk persamaan garis singgung paraobla yang diketahui memiliki nilai gradien m? Bagaimana bentuk persamaan garis lurus yang menyinggung parabola dengan keterangan titik singgung antara keduanya? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Garis Singgung Parabola dengan Gradien m

Gradien dari sebuah persamaan menunjukkan kemiringan garis tersebut. Garis lurus yang memotong parabola di satu titik dapat ditentukan melalui bentuk umum garis singgung parabola. Bentuk persamaan garis singgung yang akan dibahas di sini adalah garis singgung parabola jika diketahui gradien garis lurus yang menyinggung parabola.

Bentuk umum garis singgung parabola untuk beberapa bentuk persamaan prabola dapat dilihat pada tabel di bawah.

Garis Singgung Parabola dengan gradien m

Garis Singgung Parabola yang Melalui Suatu Titik

Bentuk persamaan garis singgung ke dua yang akan diulas adalah garis singgung parabola untuk satu titik potong yang diketahui. Satu titik potong parabola yang diketahui tersebut berada pada parabola. Keduanya, garis lurus dan parabola, sama-sama melalui titik tersebut. Cara menentukan garis singgung pada parobla tergantung apa yang diketahui dan bagaiamana bentuk persamaan parabola yang diketahui.

Beberapa jenis bentuk persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik dapat dilihat melalui tabel di bawah.

Garis Singgung Parabola yang melalui satu titik

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal berikut dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Garis Singgung Parabola

Garis singgung parabola (y – 2)2 = – 12(x + 1) sejajar dengan garis y – 3x + 1 = 0. Persamaan garis singgung parabola adalah ….
A. y = 3x + 4
B. y = 3x + 3
C. y = 3x + 2
D. y = 3x + 1
E. y = 3x

Pembahasan:
Berdasarkan persamaan parabola (y – 2)2 = – 12(x + 1) dapat diperoleh informasi bahwa:

  • b = 2
  • -4p = -12→ p = -12/-4 = 3
  • a = -1

Sebelum mencari persamaan garis singgung, akan ditentukan gradien garisnya terlebih dahulu. Karena gradien garis singgung parabola sejajar dengan garis y – 3x + 1 = 0, maka nilai gradiennya adalah m = 3.

Menentukan persamaan garis singgung parabola dengan gradien m = 3:
y = b + m( x ‒ a) ‒ p/m
y = 2 + 3( x ‒ (‒1)) ‒ 3/3
y = 2 + 3(x + 1) ‒ 1
y = 2 + 3x + 3 ‒ 1
y = 3x + 4

Jadi, Persamaan garis singgung parabola adalah y = 3x + 4.

Jawaban: A

Contoh 2 – soal garis singgung parabola

Garis singgung parabola y = x2 ‒ 2x + 8 di titik yang berabsis 2 menyinggung kurva y = ax3 + bx ‒ 4 di titik yang berabsis 1. Nilai a ‒ b adalah ….
A. ‒18
B. ‒10
C. ‒8
D. 10
E. 18

Pembahasan:
Mencari gradien dari garis singgung persamaan parabola y = x2 ‒ 2x + 8 di titik yang berabsis 2:
y = x2 ‒ 2x + 8
y’ = 2x ‒ 2
y'(2) = 2(2) ‒ 2 = 4 ‒ 2 = 2

Untuk x = 2, maka nilai y:
y = x2 ‒ 2x + 8
y(2) = 22 ‒ 2(2) + 8
y(2) = 4 ‒ 4 + 8 = 8

Sehingga dapat diketahui letak titik singgungnya berada di (2, 8). Persamaan garis singgung dengan gradien m = 2 dan melalui titik (2,8 dapat ditentukan seperti cara berikut.
y ‒ y1 = m ( x ‒ x1)
y ‒ 8 = 2( x ‒ 2)
y ‒ 8 = 2x ‒ 4
y = 2x – 4 + 8
y = 2x + 4

Persamaan garis di atas akan menyinggung kurva y = ax3 + bx ‒ 4 di titik yang berabsis 1, sehingga:
m = y’(1)
2 = 3a(1)2 + b
2 = 3a + b

Dihasilkan persamaan pertama, yaitu 3a + b = 2. Nantinya, akan digunakan proses substitusi untuk mencari nilai a dan b bersama dengan persamaan ke dua.

Pada x = 1, nilai y yang dilalui garis y = 2x + 4 adalah:
y = 2x + 4
y = 2(1) + 4
y = 2 + 4 = 6

Diperoleh titik yang sama-sama dilalui garis y = 2x + 4 dan kurva y = ax3 + bx ‒ 4. Sehingga,
y = ax3 + bx ‒ 4
6 = a(1)3 + b(1) ‒ 4
6 + 4 = a + b
10 = a+ b

Didapat persamaan ke dua, yaitu a + b = 10, maka a + b = 10 → a = 10 ‒ b

Substitusi nilai a = 10 ‒ b pada persamaan pertama untuk mendapatkan nilai b.
3( 10 ‒ b) + b = 2
30 ‒ 3b + b = 2
‒3b + b = 2 – 30
‒2b = ‒28 → b = ‒28/‒2 = 14

Selanjutnya, substitusi nilai b = 14 pada persamaan ke dua untuk mendapatkan nilai a.
a + b = 10
a + 14 = 10
a = ‒4

Sehingga, nilai a ‒ b = ‒4 ‒ 14 = ‒18.

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai persamaan garis singgung parabola, meliputi garis singgung parabola dengan gradien m dan garis singgung parabola yang melalui suatu titik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Garis Singgung Hiperbola

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.