5 Bentuk Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah bentuk persamaan yang memuat fungsi logaritma. Contoh persamaan logaritma: y = ²log 8; ³log x² + ³log x = 0; ³log (x² – 6) = 0; dsb. Hasil dari persamaan logaritma adalah nilai variabel dalam persamaan yang memenuhi persamaan tersebut.

Misalnya pada contoh y = ³log 8, hasil dari persamaan logritma adalah nilai y yang memenuhi persamaan tersebut. Di mana nilai y yang memenuhi y = ³log 8 adalah y = 3 kerena 2³ = 8.

Pada contoh ³log x² + ³log x = 0; ³log (x² – 6) = 0 memiliki bentuk yang lebih kompleks dari sebelumnya. Untuk menyelesaiakan persamaan logrtima tersebut dibutuhkan teknik tertentu. Hasil dari persamaan logaritma tersebut adalah nilai x yang memenuhi persamaan.

Setiap bentuk persamaan logaritma memiliki bentuk penyelesaian yang berbeda. Bagaimana saja bentuk persamaan logaritma dan bagaimana penyelesaiannya? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Sifat – Sifat Logaritma

Dalam operasi hitung logaritma membutuhkan sifat-sifat logaritma untuk membantu proses perhitungan. Sifat-sifat logaritma memberikan cara bagaimana suatu operasi hitung dilakukan pada fungsi logaritma.

Dengan mengetahui banyak sifat logaritma tentu juga dapat membantu sobat idschool untuk menyelesaikan soal persamaan logaritma.

Berikut ini adalah daftar beberapa sifat logaritma yang dapat digunakan untuk membantu memudahkan proses perhitungan logaritma.

Baca lebih banyak mengenai sifat-sifat logaritma dan contoh penggunannya.

5 Persamaan Logaritma

Bentuk dasar persamaan logaritma secara umum dinyatakan melalui persamaan-persamaan berikut.

dengan syarat f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x)>0.

Variasi soal persamaan logaritma terdiri atas beberapa bentuk persamaan yang dapat meliputi 5 (lima) bentuk atau lebih. Namun umumnya, cara pengerjaan dilakukan dengan menyamakan basis logaritma sehingga dapat diperoleh persamaan numerus.

Untuk lebih jelasnya, sobat idschool dapat mencari tahu cara menyelesaikan soal persamaan logaritma untuk lima bentuk persamaan yang berbeda melalui kelima cara di bawah.

Persamaan Bentuk 1

Bentuk persamaan pertama adalah dua fungsi logaritma yang sudah memiliki basis sama dan numerus dalam bentuk yang berbeda. Satu numerus berupa fungsi dan numerus lain berupa suatu bilangan.

Bentuk persamaan pertama secara umum diberikan seperti berikut.

Contoh soal 1:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ³log (2x² − x) = 1!

Penyelesaian:
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah 1 ke bentuk logaritma dengan basis 3. Di mana nilai bilangan 1 = ³log 3 sehingga persamaan menjadi seperti berikut.

³log (2x² − x) = 1
³log (2x² − x) = ³log 3

Selanjutnya dapat diambil persamaan numerus logaritma di ruas kanan dan kiri. Sehingga dapat diperoleh sebuah persamaan kuadrat seperti berikut.

³log (2x² − x) = ³log 3
2x² − x = 3
2x² − x − 3 = 0

Pemfaktoran dari persamaan di atas akan menghasilkan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat. Cara menyelesaikan persamaan bentuk pertama dilakukan seperti penyelesaian berikut.

2x² + 2x − 3x − 3 = 0
2x(x + 1) − 3(x + 1) = 0
(2x − 3)(x + 1) = 0

Dari persamaan terakhir dapat diperoleh dua persamaan yang memenuhi yaitu 2x − 3 = 0 atau x + 1 = 0. Sehingga ada dua nilai x yang memenuhi persamaan ³log (2x² − x) = 1.

Nilai x yang memenuhi persamaan diperoleh seperti perhitungan berikut.

• 2x − 3 = 0
  2x = 3
  x = ³/₂

• x + 1 = 0
  x = −1

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ³log (2x² − x) = 1 adalah x = ³/₂ dan x = −1.

Baca Juga: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Persamaan Bentuk 2

Bentuk kedua adalah persamaan dengan fungsi logaritma yang memiliki basis yang berbeda dan numerus sama. Kondisi persamaan bentuk ini mempunyai solusi nilai numerus sama dengan 1.

Jika diketahui fungsi logaritma pertama adalah ^alog f(x) dan fungsi logaritma kedua adalah ^blog f(x) maka penyelesaian persamaan sama dengan f(x) = 1.

Contoh soal 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ²log (2x² − 6x − 7) = ³log (2x² − 6x − 7)!

Penyelesaian:
Perhatikan bahwa persamaan memuat dua fungsi logaritma dengan nilai basis logaritma yang berbeda dan numerus yang sama yaitu 2x² − 6x − 7.

Sehingga penyelesaian persamaan dapat diperoleh melalui hasil dari 2x² − 6x − 7 = 1.

Menyelesaiakan persamaan logaritma:
2x² − 6x − 7 = 1
2x² − 6x − 8 = 0
2x² + 2x − 8x − 8 = 0
2x(x + 2) − 4(x + 2) = 0
(2x − 4)(x + 2) = 0

Sehingga dapat diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan ²log (2x² − 6x − 7) = ³log (2x² − 6x − 7) seperti berikut.

• 2x − 4 = 0
  2x = 4
  x = ⁴/₂ = 2

• x + 2 = 0
  x = −2

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ²log (2x² − 6x − 7) = ³log (2x² − 6x − 7) adalah x = 2 dan x = −2.

Baca Juga: Cara Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafik yang Diberikan

Persamaan Bentuk 3

Bentuk ketiga dari persamaan logaritma menyatakan persamaan dua fungsi logaritma yang memiliki basis yang sama dan numerus yang berbeda.

Penyelesaian persamaan dengan bentuk seperti ini dilakukan melalui persamaan numerus dari kedua fungsi logaritma.

Contoh soal 3:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ⁵log (2x² + 5x − 10) = ⁵log (x² − 2x + 18)!

Penyelesaian:
Soal yang diberikan pada contoh soal memiliki basis logaritma sama yaitu lima dengan numerus yang berbeda yaitu 2x² + 5x − 10 dan x² − 2x + 18.

Sehingga penyelesaian persamaan tersebut dapat dilakukan seperti cara penyelesaian berikut.

2x² + 5x − 10 = x² + 2x + 18
2x² − x² + 5x − 2x − 10 − 18 = 0
x² + 3x − 28 = 0
(x − 4)(x + 7) = 0

Sehingga dapat diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan seperti berikut.

• x – 4 = 0
  x = 4
• x + 7 = 0
  x = – 7

Baca Juga: Grafik Fungsi Logaritma

Persamaan Bentuk 4

Persamaan bentuk keempat hampir sama dengan bentuk ketiga karena memiliki basis logaritma yang sama.

Perbedananya, basis logaritma pada bentuk 3 berupa suatu bilangan, sedangkan pada bentuk 4 memiliki basis logaritma berupa suatu fungsi.

Pada bentuk seperti ini, sobat idschool tidak perlu memusingkan basis logaritma yang berupa suatu fungsi. Karena penyelesaian persamaan dapat dilakukan dengan menyamakan numerus logaritma.

Berikut ini adalah contoh cara menyelesaikan soal persamaan logaritma bentuk 4.

Contoh soal 4:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah!

Penyelesaian:

Menyelesaikan persamaan logaritma:
2x² − 2x + 20 = x² + 6x + 5
2x² − x² − 2x − 6x + 20 − 5 = 0
x² − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0

Nilai x yang memenuhi:
x − 3 = 0 → x = 3
x − 5 = 0 → x = 5

Persamaan Bentuk 5

Bentuk kelima dilakukan pada persamaan logaritma dengan bentuk persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat. Kemudian, penyelesaiannya persamaan dapat dilakukan dengan menyelsaikan persamaan kuadrat.

Secara umum, bentuk fungsi logaritma yang dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

Contoh soal 5:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma ³log²x − 7 ³log x + 12 = 0!

Penyelesaian:
Misalkan: p = ³log x, sehingga dapat diperoleh persamaan seperti berikut.

p² − 7p + 12 = 0
(p − 4)(p − 3) = 0

Diperoleh nilai p:
p − 4 = 0 → p = 4
p − 3 = 0 → p = 3

Substitusi nilai p = ³log x sehingga akan diperoleh nilai x.
³log x = 4 → x = 3⁴ = 81
³log x = 3 → x = 3³ = 27

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan logaritma ³log²x − 7 ³log x + 12 = 0 adalah x = 81 dan x = 27.

Sekian ulasan tentang bentuk – bentuk persamaan logaritma beserta cara penyelesaiannya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma Tingkat lanjut