Persamaan Logaritma, Bagaiamana Cara Menyelesaikannya?

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan dengan fungsi logaritma. Contoh persamaan logaritma adalah y = ²log 8; ³log x² + ³log x = 0; ³log (x² – 6) = 0; dan lain masih banyak lagi. Bentuk soalnya biasanya menentukan nilai variabel dalam persamaan. Lebih lanjut pembahasannya ada di bawah.

Daftar isi:

• Sifat – Sifat Logaritma
• 5 Persamaan Logaritma
  • 1) Persamaan alog f(x) = alog b
  • 2) Persamaan alog f(x) = blog f(x)
  • 3) Persamaan alog f(x) = alog g(x)
  • 4) Persamaan f(x)log g(x) = f(x)log h(x) → g(x) = h(x)
  • 5) Persamaan p alog2x − q alog x + r = 0

Sifat – Sifat Logaritma

Sifat-sifat logaritma dibutuhkan untuk operasi hitung fungsi logaritma. Dengan sifat-sifat logaritma, operasi hitung menjadi lebih mudah dan sederhana. Beberapa sifat logaritma yang sering digunakan ada di bawah.

Sifat-sifat logaritma:

1) ^alog c = b → a^b = c

2) ^alog a = 1

3) ^alog xy = ^alog x + ^alog y

5) ^alog b^p = p × ^alog b

7) a^{alog b =} b

8) ^alog b × ^blog c × ^clog d = ^alog d

Contoh penggunaan sifat-sifat logaritma ada di halaman sifat-sifat logaritma.

5 Persamaan Logaritma

Fungsi logaritma dinyatakan dalam persamaan ^alog c = b. Dengan a = basis, b = hasil, dan c = numerus. Nilai b pada fungsi logaritma sama dengan pangkat dari basis yang menghasilkan nilai c. Untuk fungsi logaritma ^alog c = b, maka a^b = c.

Ada lima persamaan logaritma yang biasanya digunakan. Kelima bentuk persamaan tersebut masing-masing dijelaskan pada ulasan di bawah.

1) Persamaan ^alog f(x) = ^alog b

Solusi dari bentuk persamaan ^alog f(x) = ^alog b adalah f(x) = b. Yang dicari adalah nilai variabel x pada persamaan f(x) yang memenuhi f(x) = b.

^alog f(x) = ^alog b → f(x) = b

Contoh soal 1:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ³log (2x² − x) = 1!

Penyelesaian:
Nilai 1 = ³log 3, sehingga persamaan akan sama dengan ³log (2x² − x) = ³log 3.

Sehingga,

³log (2x² − x) = 1

³log (2x² − x) = ³log 3

Untuk bentuk persamaan ^alog f(x) = ^alog b, nilai f(x) = b.

Maka,
2x² − x = 3

2x² − x − 3 = 0

Nilai x diperoleh dengan cara melakukan pemfaktoran fungsi kuadrat di atas.

Langkah Pemfaktoran:
2x² + 2x − 3x − 3 = 0

2x(x + 1) − 3(x + 1) = 0

(2x − 3)(x + 1) = 0

Dari persamaan terakhir dapat diperoleh dua persamaan yang memenuhi yaitu 2x − 3 = 0 atau x + 1 = 0. Sehingga ada dua nilai x yang memenuhi persamaan ³log (2x² − x) = 1.

Sehingga,
2x − 3 = 0
2x = 3 → x = ³/₂

Atau,
x + 1 = 0
x = −1

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ³log (2x² − x) = 1 adalah x = ³/₂ dan x = −1.

Baca Juga: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

2) Persamaan ^alog f(x) = ^blog f(x)

Untuk persamaan logaritma yang memiliki basis berbeda dengan numerus sama. Solusi dari persamaannya adalah nilai numerus pasti sama dengan satu. Karena kondisi ini hanya terpenuhi saat pangkat sama dengan nol. Yang akan membuat hasilnya sama dengan 1.

Maka, saat ^alog f(x) = ^blog f(x) maka solusinya adalah f(x) = 1.

^alog f(x) = ^blog f(x) → f(x) = 1

Contoh soal 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ²log (2x² − 6x − 7) = ³log (2x² − 6x − 7)!

Penyelesaian:
Persamaan yang diberikan memiliki basis berbeda, yaitu 2 dan 3. Sementara nilai numerusnya sama yaitu 2x² − 6x − 7. Maka solusinya adalah 2x² − 6x − 7 = 1.

Sehingga,

2x² − 6x − 7 = 1

2x² − 6x − 8 = 0

Faktorkan,
2x² + 2x − 8x − 8 = 0

2x(x + 2) − 4(x + 2) = 0

(2x − 4)(x + 2) = 0

Dengan begitu diperoleh,
2x − 4 = 0
2x = 4 → x = ⁴/₂ = 2

Atau,
x + 2 = 0
x = −2

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ²log (2x² − 6x − 7) = ³log (2x² − 6x − 7) adalah x = 2 dan x = −2.

Baca Juga: Persamaan Grafik Fungsi Logaritma

3) Persamaan ^alog f(x) = ^alog g(x)

Persamaan logaritma yang memiliki basis sama dengan numerus berbeda. Memiliki solusi nilai numerusnya sama. Untuk persamaan ^alog f(x) = ^alog g(x) memiliki solusi f(x) = g(x).

^alog f(x) = ^alog g(x) → f(x) = g(x)

Contoh soal 3:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ⁵log (2x² + 5x − 10) = ⁵log (x² − 2x + 18)!

Penyelesaian:
Persamaan memiliki basis logaritma yang sama yaitu 5. Sementara numerusnya merupakan fungsi berbeda yaitu 2x² + 5x − 10 dan x² − 2x + 18.

Sehingga,

2x² + 5x − 10 = x² + 2x + 18

2x² − x² + 5x − 2x − 10 − 18 = 0

x² + 3x − 28 = 0

(x − 4)(x + 7) = 0

Diperoleh,
x – 4 = 0
x = 4

Atau,
x + 7 = 0
x = – 7

Baca Juga: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

4) Persamaan ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x) → g(x) = h(x)

Persamaan yang memiliki fungsi basis yang sama, solusinya adalah persamaan numerusnya. Untuk persamaan ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x) memiliki solusi g(x) = h(x).

^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x) → g(x) = h(x)

Contoh soal 4:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ^{x2 – 1}log (2x² – 2x + 20) = ^{x2 – 1}log (x² + 6x + 5)!

Penyelesaian:
Persamaan memiliki basis yang sama dengan numerus berbeda. Dengan begitu, solusinya adalah persamaan numerusnya.

Sehingga,
2x² − 2x + 20 = x² + 6x + 5

2x² − x² − 2x − 6x + 20 − 5 = 0

x² − 8x + 15 = 0

(x − 3)(x − 5) = 0

Nilai x yang memenuhi:
>> x − 3 = 0 → x = 3
>> x − 5 = 0 → x = 5

5) Persamaan p ^alog²x − q ^alog x + r = 0

Bentuk persamaan logaritma yang menyerupai fungsi kuadrat diselesaikan dengan pemfaktoran. Agar lebih mudah, gunakan pemisalan untuk fungsi logaritma.

p ^alog²x − q ^alog x + r = 0

Contoh soal 5:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma ³log²x − 7 ³log x + 12 = 0!

Penyelesaian:
Misalkan: p = ³log x, substitusi p kersamaan logaritma ³log²x − 7 ³log x + 12 = 0.

Sehingga,
p² − 7p + 12 = 0

(p − 4)(p − 3) = 0

Diperoleh,
p − 4 = 0 → p = 4
p − 3 = 0 → p = 3

Substitusi nilai p = ³log x
Maka,
³log x = 4 → x = 3⁴ = 81
³log x = 3 → x = 3³ = 27

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan logaritma ³log²x − 7 ³log x + 12 = 0 adalah x = 81 dan x = 27.

Sekian ulasan cara menyelesaikan persamaan logaritma dan contoh soalnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma Tingkat lanjut