Pembuktian rumus sinus jumlah dua sudut sin (A+B) dan sin (A-B )

Rumus sinus jumlah dua sudut memiliki bentuk identitas sin (A+B) = sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B. Sedangkan rumus sinus selisih dua sudut memiliki bentuk identitas sin (AB) = sin A ∙ cos B − cos A ∙ sin B. Pembuktian rumus sin (A+B) dan sin (AB) dapat menggunakan identitas trigonometri untuk rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, sin (90o−A) = cos A, dan cos (90o−A) = sin A.

Bagaimana pembuktian rumus sin (A+B) = sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B? Bagaimana pembuktian rumus sin (A−B) = sin A ∙ cos B − cos A ∙ sin B? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Pembuktian rumus sin (A+B)

Rumus sinus jumlah dua sudut adalah sin (A+B) = sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B.

Pembuktian rumus sin (A+B) dapat ditunjukkan menggunakan identitas trigonometri lain yang sudah dibuktikan yaitu cos (A − B) = cos A ∙ cos B + sin A ∙ sin B, sin (90o − A) = cos A, dan cos (90o − A) = sin A.

Pembuktian rumus sin (A+B) = sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B terdapat pada langkah-langkah berikut.

Bukti:
sin (A+B) = cos (90o−(A+B))
= cos ((90o−A) − B)
= cos (90o−A)∙cos B + sin (90o−A)∙sin B
= sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B

Baris terakhir menjadi bukti bahwa terdapat identitas trigonometri sin (A+B) = sin A ∙ cos B + cos A ∙ sin B (terbukti).

Contoh penggunaan rumus sin (A+B)

Soal:
Tentukan nilai dari sin 105o ∙ cos 75o + cos 105o ∙ sin 75o!

Jawab:
Sudut 105o dan 75o bukan merupakan sudut istimewa. Sementara jumlah dua sudut 105o + 75o = 180o merupakan sudut istimewa.

Nilai fungsi trigonometri dengan besar sudut istimewa diketahui nilainya. Sehingga cara menetukan nilai dari sin 105o ∙ cos 75o + cos 105o ∙ sin 75o dapat menggunakan rumus sinus jumlah dua sudut sin (A+B).

sin 105o ∙ cos 75o + cos 105o ∙ sin75o
= sin (105o + 75o)
= sin 180o
= 0

Jadi, nilai dari sin 105o ∙ cos 75o + cos 105o ∙ sin 75o = 0

Pembuktian rumus sin (A−B)

Rumus sinus selisih dua sudut adalah sin (A − B) = sin A ∙ cos B − cos A ∙ sin B.

Pembuktian rumus sin (A − B) dapat menggunakan identitas trigonometri lain yang sudah dibuktikan yaitu cos (A + B) = cos A ∙ cos B − sin A ∙ sin B, sin (90o − A) = cos A, dan cos (90o − A) = sin A.

Bagaimana pembuktian rumus sin (A − B) = sin A ∙ cos B − cos A ∙ sin B terdapat pada langkah-langkah berikut.

Bukti:
sin (A − B) = cos (90o − (A − B))
= cos (90o − A + B)
= cos ((90o − A) + B)
= cos (90o−A)∙cos B − sin(90o−A)∙sin B
= sin A ∙ cos B − cos A ∙ sin B

Baris terakhir menjadi bukti bahwa terdapat identitas trigonometri sin (A − B) = sin A ∙ cos B − cos A ∙ sin B (terbukti).

Contoh Penggunaan Rumus Sin (A – B)

Soal:
Tentukan nilai dari sin 105o cos 75o + cos 105o sin 75o!

Jawab:
Diketahui bahwa 105o dan 75o bukan merupakan sudut istimewa. Sehingga nilai fungsi trigonometrinya hanya dapat diketahui dengan alat bantu kalkulator atau tabel.

Sedangkan selisih besar sudut 105o − 75o = 30o merupakan sudut istimewa. Sehingga nilainya dapat diketahui tanpa alat bantu hitung atau tabel trigonometri. Dengan ini, rumus sinus selisih dua sudut dapat digunakan.

sin 105o ∙ cos 75o − cos 105o ∙ sin 75o
= sin (105o − 75o)
= sin 30o
= 1/2

Jadi, nilai dari sin 105o ∙ cos 75o − cos 105o ∙ sin 75o = 1/2

Demikianlah tadi ulasan pembuktian rumus sin (A+B) atau rumus sinus jumlah dua sudut dan rumus sin (A−B) atau rumus sinus selisih dua sudut. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Exit mobile version