Rumus Luas Daerah yang Dibatasi Kurva [+Cara Cepat]

Rumus luas daerah yang dibatasi kurva berupa fungsi integral tentu. Cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dilakukan melalui dua langkah. Langkah pertama adalah menentukan batas integral dari daerah yang akan dicari luasnya. Setelah mendapatkan batas integralnya, langkah kedua adalah melakukan operasi hitung fungsi integral tentu dengan batas yang telah ditetapkan sebelumnya.

Dalam menentukan batas integral, sketsa gambar daerah yang dibatasi kurva dapat mempermudah caranya. Sehingga kemampuan menggambar sketsa gambar kurva seperti grafik fungsi kuadrat, garis lurus, atau grafik fungsi lainnya dibutuhkan. Kemampuan lain yang dibutuhkan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah cara melakukan operasi fungsi integral tentu.

Pada beberapa bentuk soal tertentu, luas daerah yang dibatasi kurva dapat dihitung dengan rumus cepat.Rumus luas daerah yang dibatasi kurva tidak menggunakan fungsi integral, namun dengan nilai diskriminan. Sehingga perhitungan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan rumus cepat bisa lebih mudah dilakukan.

Bagaimana bentuk rumus luas daerah yang dibatasi kurva? Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan cara cepat? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Rumus Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dengan Sumbu x dan Sumbu y

Bentuk rumus luas daerah yang dibatasi kurva berupa fungsi intgeral tentu. Di mana batas integral dari fungsi integral tentu adalah batas daerah yang akan dicari luasnya.

Batas integral pada cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dapat berada pada sumbu x atau sumbu y. Letak batas integral ini akan memengaruhi rumus fungsi integral yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Untuk luas daerah yang dibatasi kurva dengan batas integral adalah bilangan pada sumbu x dapat berada di atas atau di bawah sumbu x. Letak daerah yang akan dihitung luasnya ini juga akan memengaruhi bentuk rumus yang digunakan, meskipun tidak signifikan berpengaruh.

Dua bentuk rumus luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x dinyatakan dalam fungsi integral seperti berikut.

Untuk luas daerah yang dibatasi kurva dengan batas integral adalah bilangan pada sumbu y dapat berada di kanan atau di kiri sumbu y. Bentuk rumus luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu y dinyatakan dalam fungsi integral berikut.

Baca Juga: Cara Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dengan Integral

Cara Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva secara umum dilakukan dengan rumus fungsi integral tentu. Bentuk fungsi integral yang digunakan menyesuaikan luas daerah yang akan dicari dan letak batas integralnya.

Pada beberapa bentuk soal yang dapat dihitung rumus cepat untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Rumus cepat untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva menggunakan nilai diskriminan.

Meskipun dapat menghitung dengan lebih cepat dan mudah, rumus cepat untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva tidak selalu bisa digunakan.

Bentuk soal yang dapat dikerjakan dengan rumus cepat untuk menghitung luas daerah adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dari grafik fungsi kuadrat dan grafik garis lurus. Contoh bentuk soal yang dapat dikerjan dengan rumus fungsi integral dan cara cepat terdapat pada soal berikut,

Soal 1:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² ‒ 16 dan sumbu x!

Soal 1 di atas akan dikerjakan dengan dua cara. Pertama adalah menghitung luas daerah dengan rumus fungsi integral tentu. Selanjutnya cara kedua akan dihitung luas daerah menggunakan rumus cepat. Dari dua cara ini akan dilihat bagaimana nilai yang dihasilkan, apakah sama atau berbeda.

Menghitung luas daerah dengan fungsi integral

Untuk cara pertama akan dihitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² ‒ 16 dan sumbu x dengan fungsi integral. Pertama, perlu untuk menentukan batas integral tentu yang diperoleh dari perpotongan kurva y = x² ‒ 16 dan sumbu x. Batas integral ini dapat juga langsung diperoleh dari sketsa gambar grafik fungsi kuadrat y = x² – 16 berikut.

Luas daerah yang dibatasi kurva ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. Dari sketsa yang dibuat dapat diketahui bahwa batas integral yang digunakan adalah –4 dan 4.

Sehingga cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y = x² – 16 dan sumbu x dapat dikerjakan seperti cara penyelesaian berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva y = x² – 16 dengan sumbu x adalah 85¹/₃ satuan luas. Tanda negatif tidak perlu dihiraukan karena menunjukkan bahwa daerah luas berada di bawah sumbu x.

Menghitung luas daerah dengan rumus cepat

Cara yang lebih mudah untuk menghitung persamaan kuadrat adalah rumus cepat menggunakan nilai diskriminan. Untuk persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, nilai diskriminan dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan D = b² – 4ac.

Persamaan nilai diskriminan di atas kemudian dapat digunakan untuk mencari nilai luas daerah yang dibatasi kurva. Rumus cepat yang dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva terdapat pada persamaan berikut.

Rumus cepat tersebut akan digunakan untuk menyelesaikan contoh soal yang sama yaitu contoh soal 1. Perhatikan kembali soal yang diberikan, di mana akan dihitung luas daerah yang dibatasi persamaan kuadrat y = x² ‒ 16 dan sumbu x.

Dari persamaan kuadrat y = x² – 16 diperoleh nilai a = 1 (koefisien x²), b = 0 (koefisien x), dan c = ‒16 (konstanta). Nilai a, b, c dari persamaan kuadrat tersebut digunakan untuk menghitung luas daerah dengan cara cepat seperti yang dilakukan pada penyelesaian berikut.

Selesai, diperoleh luas yang sama untuk kedua cara yaitu Luas = 85¹/₃ satuan luas. Keduanya menunjukkan hasil perhitungan yang sama, bukan?

Baca Juga: Aplikasi Integral – Volume Benda Putar

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan bagaimana cara menggunakan rumus luas daerah yang dibatasi kurva. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Cara Menggunakan Rumus Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x² – x – 6 dan sumbu x adalah adalah . . . satuan luas.
A. 25¹/₆
B. 20⁵/₆
C. 18²/₃
D. 16¹/₆
E. 14⁵/₆

Pembahasan:
Untun bentuk soal seperti yang diberikan di atas dapat digunakan rumus cepat cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Pada rumus cepat untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva menggunakan nilai diskriminan, sehingga perlu dihitung terlebih dahulu nilainya.

Mencari nilai diskriminan (D):
D = b² ‒ 4ac
D = (‒1)² ‒ 4 × 1 × (‒6)
D = 1 + 24 = 25

Selanjutnya, cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x² – x – 6 dan sumbu x dilakukan sepert pentelesaian berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x² – x – 6 dan sumbu x adalah adalah 20⁵/₆ satuan luas.

Jawaban: B

Contoh 2 – Cara Menggunakan Rumus Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ‒x² ‒ 2x; y = x² + 6x, garis x = ‒2, dan x = ‒1 adalah . . . .
A. 7⅓ satuan luas
B. 8⅓ satuan luas
C. 9⅔ satuan luas
D. 10⅔ satuan luas
E. 11⅓ satuan luas

Pembahasan:
Untuk bentuk soal seperti di atas tidak bisa dihitung dengan rumus cepat untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ‒x² ‒ 2x; y = x²; y = x² + 6, garis x = ‒2, dan x = ‒1 dihitung dengan rumus fungsi integral.

Sebelumnya perlu untuk melihat bentuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = ‒x² ‒ 2x; y = x² + 6x, garis x = ‒2, dan x = ‒1. Bentuk daerah tersebut sesuai dengan gambar daerah yang diarsir berikut.

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi kurva y = ‒x² ‒ 2x; y = x² + 6, garis x = ‒2, dan x = ‒1. Cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva tersebut dilakukan dengan fungsi integral seperti pada cara penyelesaian berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ‒x² ‒ 2x, y = x² + 6x, garis x = ‒2, dan x = ‒1 adalah 7¹/₃ satuan luas.

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai rumus luas daerah yang dibatasi kurva dan contoh cara menghitungnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Pemfaktoran Bentuk Aljabar