Aplikasi Turunan untuk Mencari Luas Maksimum dan Minimum

Aplikasi turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah, salah satunya digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum. Turunan merupakan istilah matematika dalam Bahasa Indonesia untuk derivative (atau differential). Definisi turunan adalah laju perubahan sesaat suatu fungsi terhadap salah satu variabelnya. Simbol turunan dapat dinyatakan dengan satu petik atas ( ‘ ), misalkan penulisan turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f'(x).

Salah satu aplikasi turunan dapat digunakan untuk mencari luas maksimum dan minimum suatu daerah. Bagaimana penggunaan aplikasi turunan untuk menentukan luas maksimum/minimum suatu daerah? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Langkah-Langkah untuk Mencari Luas Maksimum dan Minimum

Suatu fungsi akan mencapai nilai maksimum atau nilai minimum jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Diketahui bahwa gradien sama dengan turunan pertama dari suatu fungsi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi akan dipenuhi saat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol (f'(x) = 0).

Misalnya suatu daerah memiliki persamaan luas L(x) maka luas maksimum atau luas minimum daerah dapat diketahui melalui persamaan L'(x).

Aplikasi Turunan: Mencari Luas Maksimum atau Minimum Suatu Daerah

Baca Juga: Pengertian Turunan Fungsi

Cara mencari luas maksimum dan minumum suatu daerah pada aplikasi turunan diberikan seperti langkah-langkah bertikut.

  1. Membuat persamaan luas (L) dalam sebuah variabel
  2. Menentukan turunannya untuk fungsi L
  3. Membentuk persamaan turunan fungsi sama dengan nol
  4. Menentukan masing-masing nilai variabel
  5. Menghitung luas daerah

Perhatikan bagaimana cara menentukan luas maksimum pada masalah berikut.

Soal:
Diketahui keliling sebuah segi empat sama dengan 60 cm. Berapakah luas maksimum segiempat tersebut?

Penyelesaian,
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah membuat persamaan fungsi L dalam sebuah variabel.

Misalkan segi empat tersebut memiliki sisi panjang (p) dan lebar (l) berturut – turut adalah x cm dan y cm.

Contoh Soal Aplikasi Turunan
  • Diketahui:
    Keliling segi empat: K = 60 cm
  • Misalkan:
    Panjang segi empat: p = x cm
    Lebar segi empat: l = y cm

Maka akan dapat dibentuk persamaan x yang nilai bergantung dengan y:
K = 60
2(p + l) = 60
2(x + y) = 60
x + y = 30
x = 30 – y

Rumus luas segi empat sama dengan perkalian antara panjang dan lebar. Sehingga, persamaan luas segi empat dalam variabel y diberikan seperti berikut.

L = p × l
L(y) = (30 – y) × y
L(y) = 30y – y2

Nilai L pada persamaan di atas akan mencapai maksimal pada saat turunan pertamanya sama dengan nol. Langkah selanjutnya adalah membentuk persamaan turunan pertama L sama dengan nol L’(y) = 0.

L’(y) = 0
30 – 2y = 0
–2y = –30
Dari hasil akhir persamaan di atas dapat diperoleh nilai y, berikutnya nilai x juga dapat dicari.

Mencari nilai y:
–2y = –30
y = –30/–2
y = 15 cm → lebar

Mencari nilai x:
x = 30 – y
x = 30 – 15
x = 15 cm → panjang

Diketahui nilai panjang (p = 15 cm) dan lebar (l = 15 cm) saat segi empat memiliki luas maksimum. Langkah terakhir adalah mengetahui luas maksimum menggunakan rumus luas segi empat dengan nilai p dan l yang sudah diketahui.

L = p × l
L = 15 × 15
L = 225 cm2
Jadi, luas maksimum segi empat dengan keliling = 60 cm adalah 225 cm2.

Baca Juga: Aplikasi Integral – Mencari Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Contoh Soal dan Pembahasan

Pemahaman suatu materi dapat diukur melalui keberhasilan dalam mengerjakan soal. Beberapa contoh soal aplikasi turunan untuk mencari luas maksimum dan minimum di bawah dapat digunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Aplikasi Turunan

Perhatikan gambar di bawah!

Soal Aplikasi Turunan Mencari Luas Maksimum

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah ….
A.  (2, 5)
B.  (2, 5/2)
C.  (2, 2/5)
D.  (5/2, 2)
E.  (2/5, 2)

Pembahasan:
Langkah pertama perlu menentukan persamaan garis yang memotong sumbu-x di (4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 5) seperti penyelesaian berikut.

Menentukan persamaan garis yang melalaui (4, 0) dan (0, 5):
5x + 4y = 5 . 4
5x + 4y = 20
4y = 20 − 5x
y = 5 − 5/4x

Persamaan luas daerah:
L = x × y
L = x(5 − 5/4x)
L(x) = 5x − 5/4x2

Luas akan maksimum jika turunannya saa dengan nol: L'(x) = 0
L(x) = 5x − 5/4x2
L'(x) = 5 − 10/4x = 0
10/4x = –5
x = −5 × −4/10
x = 2

Menentukan letak titik y agar diperoleh luas maksimum:
5x + 4y = 20
5(2) + 4y = 20
y = 5/2

Jadi diperoleh koordinat M = (2, 5/2) agar diperoleh luas daerah maksimum.

Pembahasan: B

Contoh 2 – Aplikasi Turunan untuk Mencari Luas Suatu Daerah

Contoh Soal Mencari Luas Maksimum atau Minimum Suatu Daerah dengan Aplikasi Turunan

Pembahasan:
Pertama perlu diketahui persamaan garis AB sehingga dapat diperoleh persamaan y yang nilainya dipengaruhi oleh variabel x.

Mencari persamaan garis AB:
2x + 5y = 10
5y = 10 – 2x
y = 10/52/5x
y = 2 – 2/5x

Luas daerah persegi panhang merupakan perkalian panjang (p) dan lebar ( ґ). Nilai panjang dan lebar daerah berturut – turut sama dengan x dan y = 2 – 2/5x.

L = p × l
L = x (2 – 2/5x)
L = 2x – 2/5x2

Turunan pertama L terhadap x: L’(x) = 2 – 4/5x
Luas maksimum akan dicapai saat turunan persamaan L sama dengan nol, sehingga diperoleh persamaan seperti berikut.

L’ = 0
2 – 2 × 2/5 x = 0
2 – 4/5x = 0
4/5 x = –2

Mencari nilai x:
4/5 x = –2
x = –2 × –5/4
x = 5/2

Mencari nilai y:
y = 2 – 2/5(5/2)
y = 2 – 1
y = 1

Menghitung luas maksimum:
L = x × y
L = 5/2 × 1 = 5/2

Jadi, luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 5/2 satuan luas.

Jawaban: A

Baca Juga: Aplikasi Integral – Mencari Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva

Contoh 3 – Soal Aplikasi Turunan

Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat).

Soal Aplikasi Turunan

Luas maksimum kandang adalah ….
A.  360 m2
B.  400 m2
C.  420 m2
D.  450 m2
E.  480 m2

Pembahasan:
Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l. Perhatikan bahwa sisi kandang yang dipagari kawat teridiri dari empat sisi lebar dan sebuah sisi panjang. Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang dapat dibentuk seperti berikut.

Persamaan panjang:
p + 4l = 80
p = 80 – 4l

Persamaan luas kandang :
L = p × l
L = (80 – 4l)l
L(l) = 80l – 4l2

Turunan pertama L terhadap l adalah L'(l) = 80 – 8l
Luas akan maksimum jika L’ = 0
80 – 8l = 0
80 = 8l
l = 80/8
l = 10 m (sisi lebar)

Menghitung luas maksimum kandang:
L(l) = 80x – 4l2
L = 80(10) – 4(10)2
L = 800 – 400 = 400 m2

Jadi, luas kandang maksimumnya adalah 400 m2.

Jawaban : B

Demikianlah ulasan aplikasi turunan untuk mencari luas maksimum atau minimum pada suatu daerah. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Integral

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.