Pada sebuah lingkaran yang bepusat di titik O terdapat dua buah tali busur AD dan BC. Kedua tali busur tersebut berpotongan di luar lingkaran di titik P. Sudut CPD adalah sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran.
Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan m∠CPD = 1/2(m∠COD − m∠AOB). Di mana m∠COD adalah besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur CD. Sementara m∠AOB adalah besar sudut yang menghadap busur AB.
Baca Juga: Cara menghitung luas tembereng pada suatu lingkaran
Dari mana rumus besar ∠CPD terdapap pada pembuktian rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran berikut.
Pertama, buat garis bantu berupa tali busur BD.
Titik B dan D adalah dua titik yang terletak pada lingkaran. Titik P adalah titik potong antara tali busur BC dan AD. Dari ketiga titik tersebut membentuk segitiga PBD.
Dari gambar dapat diketahui bahwa ∠CBD adalah sudut keliling yang menghadap busur CD. Sedangkan ∠COD adalah sudut pusat yang menghadap busur CD.
Sehingga dapat diperoleh persamaan besar ∠CBD = 1/2∠COD.
Persamaan (i): m∠CBD = 1/2m∠COD
Dari gambar dapat juga disimpulkan bahwa ∠BDA adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Di mana ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur lingkaran yang sama dengan sudut keliling ∠BDA.
Sehingga terdapat hubungan besar ∠BDA dan ∠AOB yaitu m∠BDA = 1/2m∠AOB.
Persamaan (ii):
m∠BDP = m∠BDA = 1/2m∠AOB
Selanjutnya perhatikan segitiga PDB!
Ingat bahwa jumlah ketiga sudutnya sama dengan 180o. Sehingga dapat diperoleh persamaan m∠BDP + m∠BPD + m∠DBP = 180o.
Diketahui:
- m∠BDP = 1/2m∠AOB
- m∠BPD = m∠CPD
- m∠DBP = 180o ‒ m∠CBD
m∠DBP = 180o ‒ 1/2m∠COD
Subsitusi persamaan untuk ∠BDP, ∠BPD, dan ∠DBP pada persamaan m∠BDP + m∠BPD + m∠DBP = 180o seperti langkah penyelesaian berikut.
1/2m∠AOB + m∠CPD + 180o ‒ 1/2m∠COD = 180o
m∠CPD = 180o ‒ 180o + 1/2m∠COD ‒ 1/2m∠AOB
m∠CPD = 1/2m∠COD ‒ 1/2m∠AOB
m∠CPD = 1/2(m∠COD ‒ m∠AOB)
Dari persamaan terakhir dapat diperoleh rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran yaitu m∠CPD = 1/2(m∠COD ‒ m∠AOB).
Demikianlah cara pembuktian rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!