Perbandingan Vektor pada Ruas Garis (Matematika SMA) +Contoh Soal dan Bahas

Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dalam geometri analitik, vektor sering digunakan untuk menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat (2D maupun 3D). Salah satu penerapan penting dalam vektor adalah menentukan koordinat suatu titik yang membagi ruas garis dengan perbandingan tertentu.

1. Perbandingan Vektor di Dalam Ruas Garis

Sebuah titik, yaitu titik P, terletak di antara titik A dan B sehingga membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n. Maka posisi vektor titik P dapat ditentukan menggunakan rumus perbandingan vektor di dalam.

Rumus titik di dalam ruas garis

Gunakan simulasi interaktif di bawah ini untuk melihat bagaimana perubahan koordinat titik ujung atau perbandingan m : n memengaruhi posisi titik pembagi P secara instan. Sesuaikan nilai perbandingan m : n untuk melihat perubahan letak titik P pada ruas garis AB.

Baca Juga: Vektor Posisi, Penyajian Vektor, dan Panjang Vektor

2. Perbandingan Vektor di Luar Ruas Garis

Jika titik P terletak di luar ruas garis AB, perbandingan vektor dibagi menjadi dua kondisi berdasarkan nilai m dan n. Penjelasan lebih lanjut dari dua kondisi perbandingan vektor ada di bawah.

Titik P berada sebelum titik A:

Titik P membagi ruas garis AB di luar, letak titik P berada sebelum ruas garis AB (sebelum titik A). Terjadi saat nilai pembanding pertama (m) lebih kecil dari pembanding ke dua (n), sehingga memenuhi m < n.

Titik P berada setelah titik B:

Kondisi kedua adalah sebuah titik P membagi ruas garis AB di luar dengan P terletak setelah ruas garis AB. Keadaan ini terjadi saat nilai pembagi pertama (m) lebih besar dari pembagi kedua (n). Atau kondisinya memenuhi m > n.

Baca Juga: Proyeksi Vektor (Skalar dan Ortogonal)

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal di bawah dapat menambah pemahaman materi perbandingan vektor. Dilengkapi dengan pembahasan soal perbandingan vektor yang mudah dipahami.

Soal 1

Diketahui P(3, 1, 4) dan Q(6, –5, 1). Absis titik T yang membagi PQ di dalam dengan perbandingan 2 : 1 adalah ….
A.       – 5
B.       – 3
C.       – 2
D.       2
E.       5

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

Mencari koordinat titik T:

Jadi nilai absis (titik x) dari titik T adalah 5.

Jawaban: E

Soal 2

Diketahui titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), Q(0, –3, –3), dan R(1, 0, –4). Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B merupakan titik yang berada di tengah – tengah ruas garis PR. Sedangkan titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1.

Nilai perbandingan panjang AB : BC adalah ….
A. 1 : 3
B. 3 : 1
C. 1 : 2
D. 2 : 1
E. 2 : 3

Pembahasan:
Ilustrasi segitiga pada soal dapat dilihat pada gambar di bawah.

Mencari titik koordinat A, B, dan C

Titik koordinat A:

Titik koordinat B:

Titik koordinat C:

Menghitung panjang AB dan BC

Panjang ruas garis AB dan BC dihitung dengan rumus jarak dua titik yaitu | d | = √(Δx² + Δy² + Δz²).

Menghitung panjang AB:
AB = B ‒ A = (2, 0, 1) ‒ (2, 1, 3)

= ( 2 ‒ 2, 0 ‒ 1, 1 ‒ 3)

= (0, ‒1, ‒2)

Sehingga,
| AB |² = 0² +(‒1)² + (‒2)² =  0 + 1 + 4 = 5

| AB | = √5

Menghitung panjang BC:
BC = C ‒ B = (2, ‒3, ‒5) ‒ (2, 0, 1)

= ( 2 ‒ 2, ‒3 ‒ 0, ‒5 ‒ 1)

= (0, ‒3, ‒6)

Sehingga,
| BC |² = 0² +(‒3)² + (‒6)² =  0 + 9 + 36 = 5

| BC | = √45 = √(9×5) = 3√5

Mencari perbandingan AB : BC

Jadi, nilai perbandingan panjang AB : BC adalah 1 : 3.

Jawaban: A

Demikianlah pembahasan perbandingan vektor pada ruas garis yang terdiri dari perbandingan di dalam dan perbandingan di luar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Materi Vektor Matematika SMA