Perbandingan Vektor

By | November 18, 2017

Sebelum membahas lebih jauh tentang perbandingan dua vektor, idschool akan membahas sedikit mengenai peran vektor dalam kehidupan sehari-hari, khususnya dunia penerbangan. Sebuah pesawat terbang yang mengudara dapat terbang dan sampai tujuan karena dipandu melalui radar. Selain itu, sebuah pesawat juga harus bisa memanipulasi tekanan yang bekerja pada sebuah benda. Letak posisi pesawat di udara dapat dinyatakan secara pasti melalui koordinat. Itulah cerita tentang sedikit penerapan materi vektor dalam kehidupan sehari-hari.

Posisi benda dalam koordinat dipelajari dalam pembahasan vektor. Selanjutnya, idschool akan membahas mengenai perbandingan dua vektor.

Perbandingan Vektor pada Ruas Garis

Sebuah ruas garis yang memiliki titik pangkal dan ujung dinyatakan dalam sebuah vektor. Sebuah titik A dan B dengan koordinatnya masing-masing dihubungkan sehingga membentuk ruas garis lurus AB. Titik P yang berada pada ruas garis AB akan membentuk sebuah perbandingan panjang. Titik P yang terletak pada ruas garis tersebut dapat diketahui posisinya bedasarkan keterangan perbandingan ruas garis dan koordinat titik A dan B. Inilah sedikit gambaran tentang materi perbandingan vektor.

Rumus mengenai cara menentukan titik koordinat pada perbandingan vektor dapat disimak lebih lanjut pada pembahasan di bawah.

 

Perbandingan Vektor di Dalam pada Ruas Garis

Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m dan n. Kondisi ini terjadi saat titik P berada di antara titik A dan B. Cara menentukan koordinat P pada perbandingan vektor pada ruas garis dengan titik P berada di dalam dapat dilihat pada persamaan sebagai berikut.

Perbandingan Vektor di dalam pada Ruas Garis

Berikutnya adalah pembagian vektor pada ruas garis untuk titik P berada di luar ruas garis.

 

Perbandingan Vektor di Luar pada Ruas Garis

Perbandingan Vektor di Luar pada Ruas Garis untuk kasus titik pembagi P berada di luar ruas garis dibedakan menjadi dua kondisi. Pertama adalah titik P yang membagi vektor pada ruas garis berada sebelum ruas garis. Kedua adalah titik P yang membagi vektor pada ruas garis berada setelah ruas garis. Perbedaan kondisi ini didasarkan pada besar nilai pembanding pertama dan kedua.

Untuk lebih detailnya, akan diuraikan lebih lanjut pada uraian materi di bawah.

Titik pembagi P berada sebelum ruas garis AB

Kondisi pertama, terjadi saat titik P membagi ruas garis AB di luar dengan letak titik P berada sebelum ruas garis AB. Dengan kata lain, letak titik P berada sebelum titik A. Kondisi ini terjadi saat nilai pembanding pertama (m) lebih kecil dari pembanding ke dua (n). Sehingga memenuhi m < n. Berikut ini adalah persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan letak koordinat titik P.

Perbandingan Vektor di Luar pada Ruas Garis

Titik pembagi P berada setelah ruas garis AB

Kondisi kedua adalah sebuah titik P membagi ruas garis AB di luar dengan P terletak setelah ruas garis AB. Keadaan ini terjadi saat nilai pembagi pertama (m) lebih besar dari pembagi kedua (n). Atau kondisinya memenuhi m > n. Untuk menentukan koordinat P dapat menggunakan persamaan di bawah.

Perbandingan Vektor pada Ruas Garis di Luar

Untuk menambah pemahaman sobat idschool tentang pembagian vektor, akan diberikan contoh soal dan pembahasan tentang perbandingan vektor. Simak contoh soalnya berikut.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 1: Perbandingan Vektor di Dalam dan Perbandingan Vektor di Luar

Titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), Q(0, -3, -3), dan R(1, 0, -4). Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B merupakan titik yang berada di tengah-tengah ruas garis PR. Sedangkan titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1. Nilai perbandingan panjang AB : BC adalah ….

A.       1 : 3
B.       3 : 1
C.       1 : 2
D.       2 : 1
E.       2 : 3

Pembahasan:

Ilustrasi segitiga pada soal dapat dilihat pada gambar di bawah.

Contoh Soal Pembagian Vektor

Mencari titik koordinat A:

    \[ A = \frac{ 2 \left( 3, 0, 6 \right) + \left( 0, 3, -3 \right)}{2 + 1} \]

    \[ A = \frac{ \left( 6, 0, 12 \right) + \left( 0, 3, -3 \right)}{3} \]

    \[ A = \frac{ \left( 6 + 0, 0 + 3, 12 + (-3) \right)}{3} \]

    \[ A = \frac{ \left( 6, 3, 9 \right)}{3} \]

    \[ A = \left( 2, 1, 3 \right) \]

Mencari titik koordinat B:

    \[ B = \frac{ \left( 3, 0, 6 \right) + \left( 1, 0, -4 \right)}{1 + 1} \]

    \[ B = \frac{ \left( 3 + 1, 0 + 0, 6 + (-4) \right)}{2} \]

    \[ B = \frac{ \left( 4, 0, 2 \right)}{2} \]

    \[ B = \left( 2, 0, 1 \right) \]

Mencari titik koordinat C:

    \[ C = \frac{ 2 \left(1, 0, -4 \right) + (-1) \left( 0, 3, -3 \right)}{2 - 1} \]

    \[ C = \frac{ \left(2, 0, -8 \right) + \left( 0, -3, 3 \right)}{1} \]

    \[ C = \frac{ \left( 2 + 0, 0 - 3, -8 + 3 \right)}{1} \]

    \[ C = \frac{ \left( 2, -3, -5 \right)}{1} \]

    \[ C = \left( 2, -3, -5 \right) \]

Panjang AB:

    \[ AB = B - A \]

    \[ AB = \left( 2, 0, 1 \right) - \left( 2, 1, 3 \right) \]

    \[ AB = \left( 2 - 2, 0 - 1, 1 - 3 \right) \]

    \[ AB = \left( 0, - 1, - 2 \right) \]

    \[ \left| AB \right| = \sqrt{ 0^{2} +(-1)^{2} + (-2)^{2} } \]

    \[ \left| AB \right| = \sqrt{ 0 + 1 + 4 } \]

    \[ \left| AB \right| = \sqrt{ 5 } \]

Panjang BC:

    \[ BC = C - B \]

    \[ BC = \left( 2, -3, -5 \right) - \left( 2, 0, 1 \right) \]

    \[ BC = \left( 2 - 2, -3 - 0, -5 - 1 \right) \]

    \[ BC = \left( 0, - 3, -6 \right) \]

    \[ \left| BC \right| = \sqrt{ 0^{2} +(-3)^{2} + (-6)^{2} } \]

    \[ \left| BC \right| = \sqrt{ 0 + 9 + 36 } \]

    \[ \left| BC \right| = \sqrt{ 45 } \]

    \[ \left| BC \right| = \sqrt{ 9 \times 5 } \]

    \[ \left| BC \right| = \sqrt{ 9} \times \sqrt{ 5 } \]

    \[ \left| BC \right| = 3 \sqrt{ 5 } \]

Sehingga, perbandingan AB : BC adalah

    \[ \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}} \]

    \[ \frac{AB}{BC} = \frac{1}{3} \]

    \[ AB : BC = 1 : 3 \]

Jawaban: A

Contoh Soal 2: Perbandingan Vektor pada Ruas Garis

Diketahui P(3, 1, 4) dan Q(6, -5, 1). Absis titik T yang membagi PQ di dalam dengan perbandingan 2 : 1 adalah ….

A.       -5
B.       -3
C.       -2
D.       2
E.       5

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Contoh Soal Perbandingan Vektor dan Pembahasan

    \[T = \frac{2(6, -5, 1) + 1(3, 1, 4)}{2 + 1} \]

    \[T = \frac{(12, -10, 2) + (3, 1, 4)}{3} \]

    \[T = \frac{(15, -9, 6)}{3} \]

    \[T = \frac{(5, -3, 2)}{3} \]

Jadi nilai absis (titik x) dari titik T adalah 5.

Jawaban: E

Demikianlah pembahasan perbandingan vektor pada ruas garis. Memuat perbandingan vektor di dalam dan perbandingan vektor di luar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Materi Vektor Matematika SMA