Rumus Integral Fungsi Trigonometri

By | February 17, 2018

Pembahasan rumus integral trigonometri melibatkan fungsi trigonometri yang meliputi sin, cos, tan, sec, cosec, dan cotan. Seperti cara menentukan nilai integral fungsi lainnya, integral fungsi trigonometri dapat juga diselesaikan dengan metode integral substitusi atau integral parsial. Hanya saja, ada tambahan yang perlu diperhatikan untuk menentukan nilai integral trigonometri, yaitu rumus baku hasil integral trigonometri.

Melalui halaman ini, idschool akan membahas cara menentukan hasil integral yang memuat fungsi trigonometri. Sebelumnya, perhatikan terlebih dahulu rumus baku hasil integral dari fungsi trigonometri yang diberikan pada gambar di bawah.

rumus integral trigonometri

Rumus integral trigonometri yang diberikan di atas akan selalu digunakan untuk menentukan integral dari fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Jadi, sebaiknya sobat idschool sudah memahami fungsi dasar integral trigonometri di atas.

 

Rumus Integral Trigonometri

Selain rumus integral fungsi trigonometri baku yang telah diulas di atas, ada satu bagian lagi yang cukup penting untuk menyelesaikan soal integral fungsi trigonometri yaitu fungsi identitas fungsi terigonometri. Menggunakan fungsi identitas trigonometri, sobat idschool dapat menyederhanakan fungsi trigonometri menjadi bentuk yang tepat sehingga lebih mudah untuk menentukan nilai trigonometrinya.

Berikut ini adalah beberapa fungsi identitas trigonometri.

Selanutnya, ulasan yang akan disampaikan adalah langkah menyelesaikan integral fungsi trigonometri yang akan dibahas dalam dua bahasan. Dua bahasan tersebut adalah bentuk soal integral trigonometri yang diselesaikan dengan metode substitusi dan metode integral parsial. Simak pembahasannya di bawah!

Bentuk soal integral trigonometri yang diselesaikan dengan metode substitusi.

Berikut ini adalah contoh soal integral trigonometri yang dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi.

Contoh Soal Integral Trigonometri 1

    \[ \int cos \left( 2x + 5 \right) \; dx = ...\]

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 2sin \left( 2x + 5 \right) + C \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{2} sin \left( 2x + 5 \right) + C \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; sin \left( 2x + 5 \right) + C \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; -2sin \left( 2x + 5 \right) + C \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; - \frac{1}{2}sin \left( 2x + 5 \right) + C \]

 
Pembahasan:
Misalkan:

    \[ u = 2x + 5 \]

    \[ du = 2 dx \rightarrow dx = \frac{du}{2} \]

Sehingga,

    \[ \int cos \left( 2x + 5 \right) \; dx =  \int cos \; u \; \frac{du}{2} \]

    \[  =  \frac{1}{2} \int cos \; u \; du \]

    \[  =  \frac{1}{2} sin \; u + C \]

    \[  =  \frac{1}{2} sin \; \left(2x + 5 \right) + C \]

Jawaban: B

Bentuk soal integral trigonometri yang diselesaikan dengan metode integral parsial.

Sebagai bahan untuk menambah pemahaman sobat idschool mengenai rumus integral trigonometri, berikut ini akan diberikan contoh soal integral fungsi trigonometri. Simak beberapa contoh soal dan pembahasannya di bawah.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Perhatikan soal di bawah!

contoh soal integral trigonmetri

Hasil integral yang tepat adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; sin \; x - \frac{1}{3} sin^{3}x + C \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{4} cos^{4}x + C \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 3cos^{2}x \cdot sin \; x + C \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{3}sin^{3}x - sin \; x + C \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; sin \; x - 3 sin^{3}x + C \]

 
Pembahasan:

Soal di atas dapat diselesaikan dengan mengubah menggunakan identitas trigonometri kemudian baru mencari hasil integralnya.

    \[ \int cos^{3}x \; dx = \int cos \; x \cdot cos^{2}x \; dx  \]

    \[ = \int cos \; x \cdot \left( 1 - sin^{2}x \right) \; dx  \]

    \[ = \int \left( cos \; x  - cos x sin^{2}x \right) \; dx  \]

    \[ = \int cos \; x \; dx  - \int  cos x sin^{2}x  \; dx  \]

    \[ = sin \; x - \frac{1}{2+1} sin^{3} + C \]

    \[ = sin \; x - \frac{1}{3} sin^{3} + C \]

Jawaban: A
 

Contoh 2

    \[ \int cos \; x \cdot sin^{3}x \; dx = ... \]

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{4}sin^{4}x + C \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{4}cos^{4}x + C \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; - \frac{1}{4}cos^{2}x + C \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{3}sin^{2}x + C \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; - \frac{1}{3}sin^{4}x + C \]

 
Pembahasan:

Soal yang diberikan dapat diselesaikan langsung menggunakan rumus baku fungsi integral trigonometri yang diberikan di atas.

    \[ \int cos \; x \cdot sin^{3}x \; dx = \frac{1}{3+1} sin^{3+1} + C \]

    \[ = \frac{1}{3+1} sin^{3+1} + C \]

    \[ = \frac{1}{4} sin^{4} + C \]

Jawaban: A
 

Contoh 3

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( cos \; 2x + sin \;x \right) dx = .... \]

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 2 + \sqrt{3}  \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 2 -  \frac{1}{2}\sqrt{3} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 1 + \frac{3}{4}\sqrt{3} \]

 
Pembahasan:

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( cos \; 2x + sin \;x \right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} cos \; 2x \; dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} sin \; x \; dx \]

    \[ = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} cos \; 2x \; dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} sin \; x \; dx \]

    \[ = \left[ \frac{1}{2} sin \; 2x \right] _{0}^{\frac{\pi}{3}} - \left[ cos \; x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \]

    \[ = \left[ \frac{1}{2} sin \; 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} sin \; 2 \cdot 0 \right] - \left[ cos \; \frac{\pi}{3} - cos \; 0 \right] \]

    \[ = \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 0 \right] - \left[ \frac{1}{2} - 1 \right] \]

    \[ = \left[ \frac{1}{4} \sqrt{3} - 0 \right] - \left[ \frac{1}{2} - \frac{2}{2} \right] \]

    \[ = \frac{1}{4} \sqrt{3}  - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \]

    \[ = \frac{1}{4} \sqrt{3}  + \frac{1}{2} \]

    \[ = \frac{1}{4} \sqrt{3}  + \frac{2}{4} \]

    \[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{3} \]

Jawbaan: B

Sekian pembahasan rumus integral trignometri yang dapat diselesaikan dengan dua metode yaitu integral trigonometri substitusi dan parsil. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: