Rumus Identitas Trigonometri dan 2 Contoh Pembuktian

Trigonometri itu cabang matematika yang bahas hubungan antara sudut dan sisi segitiga. ungsinya sendiri ada fungsi sin, cos, tan, csc, sec, dan cot. Nah, di dalamnya ada istilah identitas trigonometri, yaitu rumus yang menunjukkan kesamaan nilai antar fungsi trigonometri. Pada pembahasan di bawah, kita akan mengenal lebih dekat mengenai rumus identitas trigonometri.

Identitas trigonometri dapat dibuktikan melalui suatu tahapan penjelasan. Lantas, bagaimana langkah-langkah membuktikan persamaannya? Yuk, simak ulasan lengkapnya di bawah ini!

Fungsi Trigonometri

Sebelumnya, ingat kembali fungsi dasar trigonometri. Ada tiga fungsi dasar trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan). Nilai dari ketiga fungsi tersebut diperoleh dari perbandingan sisi segitiga.

Sebuah segitiga memiliki sisi depan, samping, dan miring. Perhatikan gambar di bawah untuk lebih jelasnya!

Perhatikan bahwa sisi depan merupakan sisi yang berhadapan langsung dengan sudut. Untuk nilai fungsi trigonometri diingat melalui sebuah ‘jembatan keledai’ → sin-demi, cos-sami, tan-desa.

Selain tiga fungsi dasar trigonometri terdapat fungsi kebalikannya, yaitu fungsi coses, sec, dan cotan. Dengan hubungan identitas trigonometri seperti berikut.

Sudut Istimewa Fungsi Trigonometri

Dalam fungsi trigonometri dikenal beberapa besar sudut istimewa yaitu 0^o, 30^o, 45^o, 60^o, dan 90^o. Baca lebih lanjut mengenai sudut istimewa fungsi trigonometri.

Berikut adalah fungsi identitas trigonometri di setiap kuadran.

Akan ditentukan nilai sudut Sin 225^o:
Sin 225^o = – Sin (180^o + 45^o)

= – Sin 45^o

= –½√2

Baca Juga: Bukti Jumlah Sudut Segitiga sama dengan 180^o

Rumus Identitas Trigonometri

Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya. Misalkan fungsi sec yang merupakan fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Begitu juga dengan fungsi kebalikan lain seperti cosec dan cotan.

Beberapa persamaan identitas trigonometri berikut cukup sering digunakan sebagai pembuktian rumus identitas trigonometri yang lebih komoleks.

Selain ketiga bentuk rumus di atas terdapat juga rumus identitas sudut rangkap dan jumlah/selisih sudut.

Identitas Fungsi Trigomteri Sudut Rangkap

Baca Juga: Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Fungsi Trigonometri (Sin, Cos, dan Tan)

Identitas Fungsi Trigomteri Jumlah dan Selisih Sudut

Pembuktian rumus sin²α + cos²α = 1

Cara membuktikan rumus identitas trigonometri dapat dilakukan dengan cara merubah ruas kiri agar sama dengan ruas kanan. Atatu dapat juga dengan cara merubah ruas kanan sama dengan ruas kiri. Sebagai contoh, akan dibuktikan kebenaran dari rumus identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1.

Perhatikan gambar di bawah!

Berdasarkan nilai sinus dan cosinus seperti pada segitiga di atas dapat diperoleh persamaan berikut.

Sebelum melanjutkan pembuktian rumus, ingat kembali persamaan pada pythagoras seperti yang terlihat pada gambar di bawah.

Substitusi persamaan x² + y² = r² ke dalam persamaan terakhir yang diperoleh sehingga menjadi seperti persamaan berikut.
sin²α + cos²α = r²/r²
sin² α + cos² α = 1 (Terbukti)

Baca Juga: Integral Fungsi Trigonometri

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh pembuktian identitas trigonometri di bawah dapat sobat idschool gunakan sebagai gambaran bagaimana cara membuktikan persamaan trigonometri.

Contoh Identitas Trigonometri #1

Buktikan persamaan rumus identitas trigonometri di bawah!

Bukti:

Terbukti

Contoh Identitas Trigonometri #2

Buktikan rumus identitas trigonometri berikut!

Pembuktian rumus identitas cos 3α = 4 cos³α – 3 cos α:
cos 3α = cos (2α + α) = cos 2α cos α – sin 2α sin α = (2 cos²α – 1)cos α – 2 sin α cosα sin α = 2 cos³α – cos α – 2sin²α cos α = 2cos³α – cos α – 2(1 – cos²α)cos α = 2 cos³α – cos α – 2 cos α + 2 cos³A = 2 cos³α + 2 cos³A – cos α – 2 cos α
= 4 cos³α – 3 cos α [terbukti]

Sekian pembahasan mengenai materi rumus identitas trigonometri dan cara membuktikan fungsi identitas. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Kumpulan Soal Limit Fungsi Trigonometri